Probabilidade sem reposição: o erro de manter o mesmo total na segunda retirada

Lembro bem de uma turma do 9º ano em que propus um sorteio de cartões dentro da sala. Tirei dois cartões de uma caixa, deixei o primeiro de lado e pedi que os alunos calculassem a chance de os dois saírem vermelhos. Quase todo mundo fez a conta com a caixa cheia, como se o primeiro cartão tivesse voltado para dentro.

Esse é o erro mais comum que vejo quando o assunto é probabilidade sem reposição: o aluno aprende a multiplicar frações, mas esquece que o total de possibilidades muda a cada retirada. Neste guia eu organizo o que aprendi observando esse erro na prática, com dados pedagógicos das questões validadas do GeraProva.

O que é probabilidade sem reposição, explicado para o professor?

Probabilidade sem reposição é o cálculo da chance de ocorrer uma sequência de eventos quando cada elemento retirado não volta para o conjunto antes da próxima retirada. Nesse caso, os eventos são dependentes: o resultado da primeira retirada altera a composição do espaço amostral da segunda. Se a caixa tem 12 cartões e um deles sai, restam 11; se o cartão retirado era do grupo que interessa, o grupo também diminui. O cálculo se faz multiplicando a probabilidade da primeira etapa pela probabilidade condicional da segunda, já com o total atualizado. Esse conteúdo aparece com frequência no 7º ano (EF07MA34), no 8º ano (EF08MA22), no 9º ano (EF09MA20), em situações de contagem do 3º ano (EF03MA25) e em questões de ENEM ligadas à modelagem probabilística (EM13MAT312).

Os exemplos mais usados em sala são sorteios de cartões, bolas em urnas, escolha de alunos para tarefas e pesquisas de preferências. A ideia central é sempre a mesma: a segunda chance não é igual à primeira.

O que o aluno precisa saber antes?

Pelas fichas técnicas das questões, os pré-requisitos se repetem. Em praticamente todas, o aluno precisa dominar probabilidade simples, ou seja, saber dividir o número de casos favoráveis pelo total de casos possíveis. Também aparecem com frequência frações e operações básicas, multiplicação de frações e a noção de eventos dependentes. Em algumas questões de 9º ano e do ENEM, a ideia de probabilidade condicional é exigida de forma explícita.

Para verificar se a turma tem essa base, dê antes uma atividade curta só com probabilidade simples, sem reposição, e veja se os alunos conseguem dizer qual é o total de cada etapa. Se não conseguirem, não avance: o problema não é a multiplicação, é a leitura do espaço amostral.

Quais são os erros mais comuns e por que acontecem?

Analisando as fichas das oito questões, o padrão de erro se repete. Em cinco delas, o erro típico é manter o mesmo denominador nas duas etapas, como se houvesse reposição. Em duas, o aluno trata as escolhas como independentes. Em uma, ele usa soma ou subtração em vez de multiplicação, porque confunde evento conjunto com evento alternativo.

Erro 1: manter o total inicial na segunda retirada

Esse é o erro que mais observo. O aluno calcula 3/5 × 3/5 para dois cartões vermelhos numa caixa com 3 vermelhos e 2 verdes, porque o total continua sendo 5 no imaginário dele. A causa é a visualização: a caixa parece a mesma. Como intervenção, peça que os alunos desenhem as bolinhas e risquem a retirada antes de calcular. Quando o desenho mostra 4 cartões restando, a conta muda sozinha.

Erro 2: usar a probabilidade apenas da segunda etapa

Em algumas questões, o aluno calcula a chance de a segunda retirada ser favorável, supondo que a primeira já aconteceu, e esquece de incluir a probabilidade da primeira. Esse erro confunde probabilidade condicional com probabilidade total do evento composto. A intervenção é pedir que escrevam a sequência completa: primeiro acontece A, depois acontece B, e só então multiplicam.

Erro 3: somar ou subtrair probabilidades de eventos sucessivos

Em questões de ENEM, vi alunos que somam as probabilidades das duas etapas porque entendem que ambas precisam acontecer. A soma serve para eventos alternativos, a multiplicação para eventos conjuntos. Uma boa intervenção é perguntar em voz alta: "as duas coisas precisam acontecer ou basta uma?".

Erro 4: tratar eventos dependentes como independentes

Esse erro aparece quando o aluno lê o problema e aplica a fórmula de independência sem perceber a ausência de reposição. Ele multiplica a mesma probabilidade duas vezes. A intervenção é separar os tipos de problema: com reposição a caixa volta a ser a mesma; sem reposição, cada retirada muda a caixa. Um quadro com essas duas colunas ajuda muito.

Como ensinar passo a passo?

A sequência que funciona na minha experiência tem quatro momentos. No primeiro, apresento a situação concreta com cartões ou bolinhas de papel dentro de uma caixa e faço duas retiradas reais, sem devolver a primeira. Os alunos anotam o total antes e depois de cada retirada. No segundo momento, calculamos a probabilidade da primeira etapa juntos, depois a da segunda, sempre com o total atualizado. No terceiro, multiplicamos as duas e conferimos com a contagem concreta. No quarto, comparamos o mesmo problema com reposição, para que a diferença fique evidente.

A dica de resolução que mais repito é: multiplique a chance do primeiro sorteio pela do segundo, lembrando que o total diminui. Para problemas de três etapas, o raciocínio se estende, mas a regra é a mesma.

Como avaliar: que tipo de questão usar em cada momento?

Nem toda questão serve para o mesmo objetivo. Pelas fichas, as questões de cálculo com duas etapas e enunciado objetivo, com nível de leitura médio, têm alto poder de discriminação e funcionam bem em provas e simulados, porque separam quem entendeu a dependência de quem apenas multiplicou. Já as questões de comparação, com enunciado situacional, servem melhor para diagnóstico em início de unidade, pois revelam a confusão entre reposição e não reposição sem exigir cálculo longo.

Questões de tempo curto, como as que levam de dois a três minutos, funcionam bem como avaliação rápida na saída de aula. Questões com contexto cotidiano e dois passos são ótimas para lição de casa. Use as mais difíceis apenas em prova, quando o objetivo é consolidação.

O que ensinar antes deste conteúdo?

Antes de probabilidade sem reposição, garanta que a turma domina probabilidade simples, porque sem ela não há como calcular a primeira etapa. Também é essencial revisar multiplicação de frações, já que o produto das probabilidades é uma multiplicação de frações. Se a turma ainda tropeça em conceitos básicos, vale revisar frações e operações básicas. Outros pré-requisitos que aparecem nas fichas são probabilidade de eventos, razão e proporção e a multiplicação de números decimais, útil quando o professor converte frações em decimais para comparar resultados.

Quais as ligações com outros temas?

O tema transversal mais frequente nas questões é saúde, em problemas de pesquisa sobre práticas esportivas. Isso abre espaço para discutir hábitos e escolhas. As habilidades socioemocionais mais exigidas são tomada de decisão, atenção aos detalhes e pensamento crítico, todas relevantes para ler com cuidado um enunciado que muda de uma etapa para outra. O contexto de aplicação mais comum é o cotidiano: sorteios, pesquisas, escolhas de grupos e distribuição de tarefas.

Quais são as 8 questões comentadas sobre probabilidade sem reposição?

A seguir estão as oito questões validadas do conceito. Em cada uma, marquei a alternativa correta com ✅ e as erradas com ❌, explicando por que cada uma está errada e o que o erro revela sobre o aluno.

Questão 1: cartões com a palavra Matemática

Em uma caixa há 12 cartões numerados de 1 a 12. Quatro cartões trazem a palavra Matemática. Dois cartões são retirados ao acaso, sem reposição.

— Qual é a probabilidade de os dois cartões retirados trazerem a palavra Matemática?

• ❌ A) A probabilidade é 1/3, pois há 4 cartões com a palavra Matemática entre os 12 cartões da caixa. — O aluno considera apenas a chance de sair Matemática em um único sorteio e ignora que o enunciado pede dois cartões retirados em sequência, sem reposição.
• ❌ B) A probabilidade é 1/12, pois a chance de sair um cartão com a palavra Matemática é a mesma em cada retirada. — O aluno trata as duas retiradas como se tivessem a mesma chance em cada etapa e não percebe que, sem reposição, a segunda probabilidade muda de 4/12 para 3/11.
• ❌ C) A probabilidade é 7/11, pois as probabilidades de tirar Matemática nas duas retiradas devem ser somadas. — O aluno aplica indevidamente a ideia de soma de probabilidades, quando aqui o evento pedido exige ocorrência conjunta, portanto deve-se multiplicar as probabilidades.
• ❌ D) A probabilidade é 4/144, pois basta multiplicar 4 por 4 e 12 por 12, já que os sorteios são independentes. — O aluno usa a ideia de independência como se houvesse reposição, mantendo o mesmo denominador nas duas retiradas, mas o enunciado informa que não há reposição.
• ✅ E) A probabilidade é 1/11, pois no primeiro sorteio a chance é 4/12 e, no segundo, 3/11. — Calcula a probabilidade dos dois eventos sucessivos sem reposição, multiplicando 4/12 por 3/11, o que resulta em 1/11.

Questão 2: cartões vermelhos e verdes

Em uma caixa há 3 cartões vermelhos e 2 cartões verdes. Dois cartões serão retirados, um após o outro, sem reposição.

— Qual é a probabilidade de os dois cartões retirados serem vermelhos?

• ❌ A) A probabilidade é 9/25, pois a chance de sair vermelho em cada retirada é 3/5, então basta multiplicar 3/5 por 3/5. — O aluno usa corretamente a multiplicação de probabilidades, mas aplica o procedimento como se houvesse reposição. Como os cartões são retirados sem reposição, depois de sair um vermelho restam 2 vermelhos em 4 cartões, não 3 em 5.
• ❌ B) A probabilidade é 3/5, pois existem mais cartões vermelhos do que verdes na caixa, então a cor vermelha continua sendo a mais provável nas duas retiradas. — O aluno extrapola a maior chance de retirar um cartão vermelho na primeira retirada para o evento de retirar dois cartões vermelhos. A probabilidade de duas ocorrências sucessivas deve considerar as duas etapas e a mudança no total de cartões.
• ❌ C) A probabilidade é 1/2, pois, depois de sair um cartão vermelho, restam 2 cartões vermelhos e 2 verdes, deixando as chances iguais na segunda retirada. — O aluno considera apenas a probabilidade da segunda retirada, dado que a primeira foi vermelha, e confunde probabilidade condicional com a probabilidade total do evento composto. Era necessário incluir também a chance de o primeiro cartão ser vermelho.
• ❌ D) A probabilidade é 2/5, pois há 2 cartões verdes entre os 5 cartões da caixa, então a chance de retirar dois vermelhos corresponde ao que sobra em relação aos verdes. — O aluno observa apenas a quantidade de cartões verdes e o total de cartões, fazendo uma leitura rasa do enunciado. Ele não calcula a probabilidade de duas retiradas vermelhas sucessivas sem reposição, que exige multiplicar 3/5 por 2/4.
• ✅ E) A probabilidade é 3/10, pois primeiro a chance é 3/5 e, depois da retirada de um vermelho, a chance restante é 2/4; o produto dá 3/10. — A retirada é sem reposição, então a probabilidade da segunda retirada depende do resultado da primeira. Para sair vermelho nas duas, calcula-se 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10.

Questão 3: sabores preferidos por alunos

Uma pesquisa com 30 alunos apontou preferências por sabores: chocolate 15, baunilha 10, morango 5. Se dois alunos são escolhidos ao acaso, sem reposição, qual a probabilidade de ambos preferirem chocolate?

• ✅ A) P = 15/30 × 14/29 = 7/29 ≈ 0,241. — Sem reposição o evento do segundo aluno depende do primeiro; multiplicam-se a probabilidade inicial e a condicional: (15/30)·(14/29).
• ❌ B) P = 15/30 × 15/29 = 1/2; logo, ambos preferem chocolate. — O segundo evento tem probabilidade errada; não se considera reposição.
• ❌ C) A probabilidade é zero, pois não é possível escolher dois que gostam de chocolate. — Existem 15 alunos que preferem chocolate, então a probabilidade não é zero.
• ❌ D) P = 15/30; logo, só um aluno precisa preferir chocolate para ter sucesso. — A questão exige que ambos preferem chocolate, não um só.
• ❌ E) P = 10/30 × 10/29 = 1/3; portanto, a chance é de 33,33%. — A escolha do sabor não é bem representada; chocolate deve ser o foco.

Questão 4: sorteio do clube de leitura

Para decidir quem escolhe a música do intervalo, a monitora do clube de leitura colocou em uma sacola cartões dobrados com desenhos: três com sol, três com lua, um com nuvem e um com estrela. Cada participante retirará um cartão sem olhar e o devolverá à sacola antes do próximo sorteio. Os desenhos indicam apenas a ordem de escolha, sem preferência por qualquer participante.

Compare as possibilidades de retirada descritas no texto e identifique a afirmação correta sobre as chances no sorteio.

• ❌ A) A chance de retirar sol é menor que a de retirar lua e maior que a de retirar estrela. — Embora sol tenha mais cartões que estrela, sol e lua têm a mesma quantidade de cartões.
• ❌ B) A chance de retirar sol é igual à de retirar nuvem e maior que a de retirar lua. — Confunde os grupos de cartões: sol aparece três vezes, nuvem uma vez e lua três vezes.
• ❌ C) A chance de retirar sol é igual à de retirar lua e menor que a de retirar nuvem. — Inverte a comparação das quantidades: existem mais cartões de sol do que cartões de nuvem.
• ❌ D) A chance de retirar sol é maior que a de retirar lua e igual à de retirar nuvem. — Desconsidera que sol e lua aparecem três vezes cada e que nuvem aparece somente uma vez.
• ✅ E) A chance de retirar sol é igual à de retirar lua e maior que a de retirar nuvem. — Há três cartões de sol e três de lua, enquanto há apenas um de nuvem. Quantidades iguais indicam mesmas chances.

Esta questão está no próprio cenário de reposição: a sacola recebe o cartão de volta, então as chances não mudam entre sorteios. Ela é útil justamente como contraste com o conteúdo deste guia.

Questão 5: teste de validação com fichas

Em um festival, a equipe de organização utiliza uma caixa com 9 fichas para testar um procedimento de validação. Há 4 fichas azuis, 3 fichas vermelhas e 2 fichas verdes. Após serem misturadas, duas fichas são retiradas sucessivamente, sem reposição. O teste é aprovado quando a primeira ficha retirada é azul e a segunda é vermelha. Como a composição da caixa é mantida em todos os testes, a equipe deseja calcular a chance de aprovação em uma única realização.

Com base nas informações do texto, qual é a probabilidade de o teste ser aprovado em uma única realização?

• ❌ A) A probabilidade é 3/8, pois o resultado depende apenas de retirar uma ficha vermelha na segunda retirada. — Esse resultado considera somente a condição da segunda retirada e ignora a exigência de que a primeira ficha seja azul.
• ❌ B) A probabilidade é 4/9, pois o resultado depende apenas de retirar uma ficha azul na primeira retirada. — Esse resultado considera somente a condição da primeira retirada e ignora a exigência de que a segunda ficha seja vermelha.
• ✅ C) A probabilidade é 1/6, pois a chance de retirar uma ficha azul primeiro é 4/9 e, depois disso, a chance de retirar uma ficha vermelha é 3/8; portanto, (4/9) · (3/8) = 1/6. — Na primeira retirada, há 4 fichas azuis entre 9 fichas, então a probabilidade é 4/9. Como a ficha retirada não é devolvida e o evento exige que ela seja azul, restam 8 fichas, das quais 3 são vermelhas. Assim, a probabilidade de a segunda ficha ser vermelha é 3/8. Pela regra do produto, a probabilidade de os dois eventos ocorrerem na ordem exigida é (4/9) · (3/8) = 12/72 = 1/6.
• ❌ D) A probabilidade é 1/9, pois as duas condições devem ser combinadas usando 4/9 menos 3/8. — Esse resultado surge de subtrair probabilidades de eventos sucessivos, operação inadequada para calcular a ocorrência conjunta de duas condições em sequência.
• ❌ E) A probabilidade é 1/3, pois há 3 fichas vermelhas entre as 9 fichas da caixa. — Esse resultado usa a quantidade de fichas vermelhas sobre o total inicial e desconsidera tanto a exigência da primeira ficha azul quanto a alteração do total após a retirada.

Questão 6: alunos que preferem futebol ou vôlei

Numa turma de 20 alunos, 12 preferem futebol e 8 preferem vôlei. Dois alunos são escolhidos aleatoriamente sem reposição. Calcule a probabilidade de ambos preferirem futebol.

• ❌ A) 11/20 — Conta que restam 11 alunos que preferem futebol, mas mantém 20 como total de alunos.
• ✅ B) 33/95 — A chance de o primeiro aluno preferir futebol é 12/20. Sem reposição, ficam 11 alunos que preferem futebol entre 19 alunos. Assim, (12/20) × (11/19) = 33/95.
• ❌ C) 12/20 — Considera apenas a chance de o primeiro aluno preferir futebol e não leva em conta a escolha do segundo.
• ❌ D) 33/100 — Diminui para 11 os alunos que preferem futebol, mas mantém 20 como total na segunda escolha.
• ❌ E) 9/25 — Usa 12/20 nas duas escolhas, como se o aluno escolhido pudesse voltar para a turma. O produto é 144/400, ou 9/25.

Questão 7: futebol e depois vôlei em um clube escolar

Num clube escolar com 30 alunos, as práticas esportivas são: futebol 14, vôlei 8 e natação 8. Se dois alunos são escolhidos aleatoriamente sem reposição, qual a probabilidade de o primeiro gostar de futebol e o segundo gostar de vôlei?

• ❌ A) P = (14/30)·(14/29) = 196/870 — O segundo evento também usa futebol, não vôlei, contradizendo o enunciado.
• ✅ B) P = (14/30)·(8/29) = 56/435 ≈ 0,1287 — Sem reposição o segundo evento depende do primeiro; calcular P(futebol depois vôlei) = P(futebol)·P(vôlei | futebol) = (14/30)·(8/29).
• ❌ C) P = (14/20)·(8/29) = 56/580 — A turma tem 30 alunos, não 20. Usar 20 ignora a contagem correta.
• ❌ D) P = (10/30)·(8/29) = 80/870 — O número de jogadores de futebol está errado, ao invés de 10 deveria ser 14.
• ❌ E) P = (14/30)·(8/30) = 112/900 — Usou o total de 30 no segundo evento, quando deveria ser 29 sem reposição.

Questão 8: duas vagas em projeto de digitalização

— O segundo cartão não volta para a urna, porque já será entregue a outro voluntário — explicou a coordenadora de uma biblioteca comunitária. Para distribuir duas vagas de apoio em um projeto de digitalização, foram colocados na urna 12 cartões: 5 identificavam pessoas com experiência em digitalização e 7 identificavam pessoas para outras atividades. Os cartões serão retirados um de cada vez, sem reposição, e cada retirada terá a mesma chance entre os cartões que permanecerem na urna. A coordenadora pretende estimar a chance de as duas vagas de digitalização serem destinadas a pessoas com essa experiência.

Analise o sorteio descrito e determine a classificação dos eventos e a probabilidade de as duas pessoas sorteadas terem experiência em digitalização.

• ❌ A) Trata-se de eventos dependentes, e a probabilidade é 5/12. — Erro de considerar apenas a probabilidade da primeira retirada e ignorar a condição exigida para a segunda.
• ❌ B) Trata-se de eventos independentes, e a probabilidade é 25/144. — Erro de supor reposição: calcula-se 5/12 multiplicado por 5/12, como se o primeiro cartão retornasse à urna.
• ❌ C) Trata-se de eventos dependentes, e a probabilidade é 4/11. — Erro de considerar apenas a segunda retirada, desconsiderando que a primeira pessoa também deve ter experiência.
• ✅ D) Trata-se de eventos dependentes, e a probabilidade é 5/33. — Sem reposição, a primeira retirada altera a composição da urna. Assim, a probabilidade é 5/12 multiplicado por 4/11, resultando em 5/33.
• ❌ E) Trata-se de eventos dependentes, e a probabilidade é 5/11. — Erro de usar somente parte da fração da segunda retirada, sem multiplicar as probabilidades das duas etapas.

Perguntas frequentes sobre probabilidade sem reposição

Qual a diferença entre eventos dependentes e independentes?

Eventos independentes são aqueles em que o resultado de um não altera a chance do outro, como sortear com reposição. Eventos dependentes são aqueles em que o primeiro resultado muda o conjunto disponível para o segundo, como ocorre quando não há reposição. Na sala de aula, a pergunta que resolve a dúvida é: depois da primeira retirada, a caixa ficou igual ou mudou?

Por que o aluno insiste em manter o total inicial?

Porque a visualização da caixa parece a mesma e a multiplicação é mecânica. O aluno tende a se apegar ao número que aparece no enunciado e esquece que ele precisa ser atualizado. Desenhar as retiradas e riscar o que saiu costuma resolver essa confusão de forma concreta.

Quando devo usar multiplicação e quando devo somar probabilidades?

Multiplique quando os dois eventos precisam acontecer, um depois do outro. Some quando basta que um dos eventos aconteça. Essa distinção é uma das mais importantes do conteúdo e merece ser repetida em várias atividades.

Como verificar se a turma está pronta para esse conteúdo?

Aplique uma atividade curta de probabilidade simples e multiplicação de frações. Se a turma erra o total de possibilidades ou não sabe multiplicar frações, revise esses conceitos primeiro. Sem essa base, a probabilidade sem reposição vira apenas uma sequência de números sem sentido.

Qual tipo de questão devo usar para diagnosticar a confusão entre reposição e não reposição?

Questões de comparação com enunciado situacional, como o sorteio de cartões com devolução, são ótimas para diagnóstico porque revelam a diferença entre os dois casos sem exigir cálculo longo. Depois, use questões de duas etapas em prova para verificar se o aluno consegue aplicar o conceito.

Quer montar uma avaliação com questões de probabilidade sem reposição e outros conteúdos de matemática? Use o gerador de provas do GeraProva e crie sua prova em minutos. Se ainda não tem conta, faça o cadastro grátis e comece hoje.

Experimente criar seu primeiro material de probabilidade com o GeraProva. Quanto mais questões os alunos resolverem com calma, mais rápido você vê onde a turma realmente está.