Exercícios sobre proporcionalidade direta e inversa com gabarito

Quando comecei a dar aula de proporcionalidade, achava que bastava explicar a regra de três e pronto. Logo percebi que meus alunos decoravam o método e erravam na primeira questão que fugisse do modelo. Foi aí que passei a montar listas de exercícios com alternativas que representassem erros reais, e não apenas respostas aleatórias.

Neste texto, reuni seis questões reais da base do GeraProva, cada uma com gabarito comentado, dica de resolução e o código BNCC correspondente. Você pode usar tudo isso direto na sua aula ou como ponto de partida para criar a sua própria prova.

O que é proporcionalidade direta e inversa?

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, ao multiplicar uma delas por um número, a outra também é multiplicada pelo mesmo número. Já são inversamente proporcionais quando, ao multiplicar uma, a outra é dividida pelo mesmo fator, de modo que o produto entre elas se mantém constante. Um exemplo clássico de proporcionalidade direta é a relação entre a quantidade de litros de tinta e a área pintada, com mesmo rendimento. Um exemplo de proporcionalidade inversa é o número de torneiras abertas e o tempo para encher um tanque. Na prática, o ponto de partida é sempre o mesmo: identificar como uma grandeza reage quando a outra muda.

Quando monto uma prova, gosto de começar pelo contexto do aluno, porque é ali que a ideia de proporção faz sentido. A ferramenta GeraProva ajuda nessa etapa ao organizar questões por habilidade BNCC e nível de dificuldade.

Como identificar a natureza da variação entre duas grandezas?

Para identificar se duas grandezas são diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais, o procedimento é simples: verifique se a razão (ou o produto) entre os valores permanece constante. Se a razão entre os pares se mantém, há proporcionalidade direta; se o produto se mantém, a relação é inversa; caso contrário, não há proporcionalidade. Essa checagem ajuda muito o aluno a não confundir relações apenas crescentes com relações proporcionais.

Passo a passo para a sala de aula

• Liste pares de valores das duas grandezas em uma tabela.
• Calcule a razão entre os valores correspondentes (ou o produto, para a inversa).
• Compare os resultados: se forem iguais, há proporcionalidade.
• Só então represente a relação por uma sentença algébrica.

Questões prontas com gabarito comentado

A seguir, as seis questões da base do GeraProva. Em cada uma, a alternativa correta está marcada com ✅ e as incorretas com ❌, com a explicação do porquê de cada distrator. Ao final de cada questão, você encontra a ficha técnica com dificuldade, nível de Bloom e código BNCC.

Questão 1: comparar situações e identificar a proporcionalidade inversa

Comparar as situacoes e identificar aquela que representa proporcionalidade inversa.

• ❌ A) Litros de tinta e area pintada, com mesmo rendimento — Mais area exige mais tinta. A relacao e direta.
• ❌ B) Preco por unidade e quantidade paga, com valor fixo por unidade — Mantido o preco unitario, pagando mais compra-se mais unidades. Relacao direta.
• ❌ C) Distancia percorrida e combustivel gasto, com mesmo consumo — Maior distancia tende a exigir mais combustivel. Relacao direta.
• ❌ D) Numero de paginas e massa do caderno, com mesmo tipo de papel — Mais paginas aumentam a massa. Relacao direta.
• ✅ E) Numero de torneiras iguais abertas e tempo para encher um tanque — Abrindo mais torneiras, o tempo diminui na mesma proporção. Relacao inversa.

Dica de resolução: analise as relações entre as grandezas para identificar a proporcionalidade inversa. Conceito central: proporcionalidade inversa. Conceito para revisão: revisar o conceito de proporcionalidade inversa e suas características. Esta questão cobra nível de Bloom analisar e está alinhada à BNCC EF09MA08.

Questão 2: identificar grandezas proporcionais ou não proporcionais

Identifique se as grandezas a seguir são diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais: altura e peso de uma pessoa e o número de horas de estudo e a nota em uma prova.

• ❌ A) Altura e peso são não proporcionais; horas e nota são proporcionais. — A primeira relação foi identificada corretamente, mas a segunda foi considerada diretamente proporcional. Mais horas de estudo não garantem uma nota que aumente sempre na mesma proporção.
• ❌ B) Ambas são diretamente proporcionais. — Esse raciocínio supõe que, ao aumentar uma grandeza, a outra sempre aumenta na mesma proporção. Isso não é garantido em nenhuma das duas relações.
• ❌ C) Ambas são inversamente proporcionais. — Esse raciocínio supõe que, ao aumentar uma grandeza, a outra diminui de modo que o produto entre elas fique constante. Isso não descreve as relações apresentadas.
• ✅ D) Altura e peso são não proporcionais; horas e nota são não proporcionais. — Nenhuma das relações descritas é proporcional. A altura e o peso de uma pessoa não mantêm uma razão constante, e estudar mais horas não garante uma nota que aumente sempre na mesma proporção.
• ❌ E) Altura e peso são diretamente proporcionais; horas e nota são não proporcionais. — A segunda relação foi identificada corretamente, mas a primeira foi considerada diretamente proporcional. A altura e o peso não mantêm uma razão constante.

Dica de resolução: verifique se uma grandeza varia sempre em razão constante ou inversa da outra. Conceito central: grandezas proporcionais e não proporcionais. Conceito para revisão: revise os critérios de proporcionalidade direta e inversa e diferencie associação de proporcionalidade. Nível de Bloom analisar, raciocínio crítico, BNCC EF08MA12.

Questão 3: reconhecer a reta da proporcionalidade direta no plano cartesiano

— Se houver taxa inicial, uma entrega sem percurso já terá custo — observou a representante dos ciclistas durante uma simulação fictícia para contratar um serviço de entregas. A prefeitura definiu que o valor C, em reais, deveria variar em proporção direta à distância d, em quilômetros, percorrida. Cinco empresas apresentaram seus modelos: P: C = 8 + 1,5d; Q: C = 1,5d; R: C = 5 + 2d; S: C = 2 + 0,5d; e T: C = 4 + 3d. A comissão precisa reconhecer, no plano cartesiano, o modelo que atende à condição estabelecida.

Analise os modelos apresentados e identifique a representação geométrica que atende à condição de proporcionalidade direta definida pela prefeitura.

• ❌ A) A reta do modelo T, que intercepta o eixo vertical em 4. — Erro de considerar apenas o coeficiente da distância: o termo constante 4 indica custo mesmo quando a distância é zero.
• ❌ B) A reta do modelo S, que intercepta o eixo vertical em 2. — Erro de associar menor valor inicial à proporcionalidade: o termo constante 2 desloca a reta para cima no plano cartesiano.
• ✅ C) A reta do modelo Q, que passa pela origem do plano. — No modelo Q, C = 1,5d não há termo constante. Logo, para d = 0, C = 0, e a reta passa pela origem.
• ❌ D) A reta do modelo P, que intercepta o eixo vertical em 8. — Erro de confundir crescimento linear com proporcionalidade: o termo constante 8 faz com que a reta não passe pela origem.
• ❌ E) A reta do modelo R, que intercepta o eixo vertical em 5. — Erro de ignorar a taxa fixa: embora o custo aumente com a distância, o valor inicial 5 impede a proporcionalidade direta.

Dica de resolução: identifique a função que representa proporcionalidade direta, ou seja, sem termo constante. Conceito central: proporcionalidade direta, função linear. Conceito para revisão: estude funções lineares e a definição de proporcionalidade direta. Nível de Bloom aplicar, BNCC EM13MAT401.

Questão 4: encontrar o par com variação inversamente proporcional

Pergunta retórica: por que os gestores de uma empresa de transporte monitoram diferentes pares de grandezas para otimizar as operações? Em relatórios internos, observaram três relações: 1. Quando a distância percorrida dobra, o combustível consumido também dobra. 2. Ao dobrar o número de trabalhadores responsáveis pela carga, o tempo de carregamento reduz-se pela metade. 3. Aumentos no peso da carga resultam em maior potência exigida do motor, mas sem um fator constante de proporção.

Analise o texto-base e identifique qual par de grandezas apresenta variação inversamente proporcional.

• ✅ A) Número de trabalhadores e tempo de carregamento — Essas grandezas variam inversamente: dobrar trabalhadores reduz o tempo pela metade.
• ❌ B) Distância percorrida e tempo de carregamento — Não há relação apresentada entre distância e tempo de carregamento no texto-base.
• ❌ C) Tempo de carregamento e combustível consumido — Não há indicação de relação entre tempo de carga e combustível no texto-base.
• ❌ D) Peso da carga e potência exigida do motor — Embora haja relação, não há razão constante, logo não são inversamente proporcionais.
• ❌ E) Distância percorrida e combustível consumido — Essas grandezas variam de modo diretamente proporcional, pois ambas dobram simultaneamente.

Dica de resolução: identifique a relação inversamente proporcional entre as grandezas descritas. Conceito central: variação inversamente proporcional. Conceito para revisão: estude o conceito de variação inversamente proporcional e suas características. Dificuldade difícil, nível de Bloom aplicar, raciocínio criativo, BNCC EF08MA12.

Questão 5: relacionar área e lado do quadrado

Em uma obra, placas quadradas foram testadas para diferentes medidas de lado x. O gráfico mostra a área A obtida em cada caso. Com base nos dados, qual relação representa uma variável diretamente proporcional ao quadrado da outra?

• ❌ A) A = x — Se fosse linear, os pontos cresceriam na mesma razão, o que não ocorre.
• ❌ B) A = 2*x — Os valores de A não são o dobro de x em todos os pontos do gráfico.
• ✅ C) A = x**2 — Correta: 1, 4, 9, 16 e 25 são exatamente os quadrados de 1, 2, 3, 4 e 5.
• ❌ D) A = x**2 + 1 — Nesse caso, para x=1 a área seria 2, e não 1, como mostra o gráfico.
• ❌ E) A = 2*x**2 — Os valores do gráfico são menores que o dobro de x² para todos os pontos dados.

Dica de resolução: analise o gráfico para identificar a relação entre as variáveis. Conceito central: proporcionalidade direta e área. Conceito para revisão: estude proporcionalidade direta e cálculo de área de quadrado. Nível de Bloom compreender, raciocínio indutivo, BNCC EM13MAT402.

Questão 6: relacionar resistência, comprimento e área da secção

ENEM - 2010 As figuras mostram que as proporcionalidades existentes entre resistência (R) e comprimento (l), resistência (R) e área da secção transversal (A), e entre comprimento (l) e área da secção transversal (A) são, respectivamente,

• ❌ A) Direta, direta e direta. — As relações não são todas diretas; a relação entre R e A é inversa.
• ❌ B) Direta, direta e inversa. — A relação entre R e A é inversa, não direta, portanto está errada.
• ✅ C) Direta, inversa e direta. — Correta: R e l são diretas, R e A são inversas, e l e A são diretas.
• ❌ D) Inversa, direta e direta. — A relação entre R e l é direta, não inversa, portanto está errada.
• ❌ E) Inversa, direta e inversa. — A relação entre R e l é direta, não inversa, portanto está errada.

Dica de resolução: analise as informações da imagem para identificar cada tipo de relação. Conceito central: geometria plana, cálculo de área. Conceito para revisão: revisar fórmulas de área e perímetro de figuras planas. Nível de Bloom analisar, raciocínio dedutivo, BNCC EM13MAT314.

Como montar uma prova com essas questões?

Na minha experiência, a melhor prova de proporcionalidade mistura contextos diferentes: uma questão de tabela, uma de gráfico, uma de situação-problema. Assim o aluno não reconhece o padrão pelo formato, precisa realmente entender a relação. Um bom equilíbrio é um terço de questões de análise de tabelas, um terço de representações gráficas e um terço de problemas contextualizados.

• Comece com questões de nível compreender para aquecer a turma.
• Avance para questões de analisar e aplicar, que exigem justificar a escolha.
• Feche com um problema aberto em que o aluno precisa construir a sentença algébrica.

Quantas questões usar em uma avaliação de proporcionalidade?

Para uma avaliação de 50 minutos, eu costumo usar entre oito e dez questões, sendo ao menos duas de proporcionalidade inversa, porque é nela que mais vejo erros. Se a turma já domina a direta, reserve mais espaço para a inversa e para funções lineares. Com o cadastro grátis no GeraProva, você gera uma primeira versão da prova em minutos e ajusta o que for necessário, economizando o tempo que sobraria para a correção.

Vale a pena usar gabarito comentado nas aulas?

Sim. Quando entrego a prova com a explicação de cada alternativa errada, a discussão em sala muda de nível. O aluno deixa de perguntar "qual é a resposta?" e passa a perguntar "por que essa alternativa não serve?". Esse hábito é o que mais melhora o desempenho em proporcionalidade, porque expõe justamente as confusões comuns entre relações crescentes e relações proporcionais.

Esses exercícios são ponto de partida: adapte os enunciados à sua turma, ajuste a dificuldade e confira sempre o gabarito antes de aplicar. Se quiser testar o GeraProva com as suas próprias listas, o cadastro é gratuito e leva menos de dois minutos.