Durante uma auditoria na rodoviária, a equipe registra a quantidade de leituras feitas por dois leitores de…

Questão

Durante uma auditoria na rodoviária, a equipe registra a quantidade de leituras feitas por dois leitores de acesso. As colunas de A correspondem, nessa ordem, a bilhetes intermunicipais e regionais; as linhas correspondem aos leitores 1 e 2. Assim, y = A x, em que x contém as quantidades originais de cada tipo de bilhete e y contém as leituras observadas. A equipe obteve A = [[1, 1], [2, 3]] e y = [[17], [39]]. Uma funcionária afirma que a matriz B = [[3, -1], [-1, 1]] permite recuperar x por meio de x = B y. Considerando o texto, como essa afirmação deve ser avaliada? Determine a matriz inversa correta de A e as quantidades de bilhetes intermunicipais e regionais registradas.

1. A) A afirmação está incorreta, pois a matriz B não recupera as quantidades observadas. Assim, a inversa seria [[3, -1], [-1, 1]], e haveria 12 bilhetes intermunicipais e 22 regionais a partir das leituras apresentadas.
2. B) A afirmação está incorreta, e a inversa correta é [[3, -1], [-2, 1]]. As leituras levariam a 13 bilhetes intermunicipais e 4 regionais, considerando 38 como a segunda leitura registrada no cálculo.
3. C) A afirmação está incorreta, pois a inversa correta é [[-3, 1], [2, -1]]. Portanto, as quantidades são -12 bilhetes intermunicipais e -5 regionais, após aplicar essa matriz às leituras indicadas no texto.
4. D) A afirmação está incorreta, pois a inversa correta é [[3, -2], [-1, 1]]. Portanto, seriam registrados -27 bilhetes intermunicipais e 22 regionais, considerando as leituras indicadas no texto para montar a solução.
5. E) A afirmação está incorreta, pois A B = [[2, 0], [3, 1]], que não é a matriz identidade. A inversa correta é A^(-1) = [[3, -1], [-2, 1]]. Portanto, x = A^(-1)y = [[12], [5]], correspondendo a 12 bilhetes intermunicipais e 5 regionais.

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. Para A = [[1, 1], [2, 3]], o determinante é 1·3 − 1·2 = 1. Logo, A^(-1) = [[3, -1], [-2, 1]]. A matriz B indicada é diferente dessa inversa; de fato, A B = [[2, 0], [3, 1]], não a identidade.
2. Calculando x = A^(-1)y: [[3, -1], [-2, 1]] [[17], [39]] = [[51 − 39], [−34 + 39]] = [[12], [5]]. Portanto, são 12 bilhetes intermunicipais e 5 regionais.
3. A está errada porque apresenta como inversa a matriz B e quantidades que não resultam das leituras. B está errada porque usa 38 em vez de 39 na segunda leitura e também apresenta uma inversa incorreta. C está errada porque sua matriz não é a inversa e as quantidades negativas não correspondem à solução. D está errada porque sua matriz não é a inversa e o produto indicado não produz as quantidades corretas. Assim, E é a alternativa correta e coincide com o gabarito oficial.

💡 Dica: Calcule o determinante de A, encontre A^-¹ e multiplique-a por y.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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