Durante o batizado de uma embarcação de pesquisa, a equipe ajusta um painel luminoso com dois canais de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar relações entre números expressos em tabelas para representá-los no plano cartesiano, identificando padrões e criando conjecturas para generalizar e expressar algebricamente essa generalização, reconhecendo quando essa representação é de função polinomial de 2º grau do tipo y = ax2.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Durante o batizado de uma embarcação de pesquisa, a equipe ajusta um painel luminoso com dois canais de comando. Em um gráfico cartesiano descrito no registro de calibração, os vetores de comando (1, 2) e (2, 1), ambos com origem em (0, 0), correspondem, respectivamente, aos vetores de resposta (5, 4) e (4, 5). A equipe modela essa correspondência por uma única matriz 2 x 2. Para um novo teste, o vetor de comando é (3, 1). Qual matriz representa a transformação calibrada e qual vetor de resposta ela prevê para o novo teste?
- A) A matriz é [[1, 2], [2, 1]], e o vetor de resposta previsto é (5, 7).
- B) A matriz é [[4, 5], [5, 4]], e o vetor previsto é (17, 19).
- C) A matriz é [[5, 4], [4, 4]], e o vetor previsto é (19, 16).
- D) A matriz é [[2, 1], [1, 2]], e o vetor previsto é (7, 5).
- E) A matriz é [[5, 4], [4, 5]], e o vetor previsto é (19, 17).
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- DISCORDANCIA.CORRETA:E Passo 1: Seja M = [[a, b], [c, d]]. Pelos dados, M(1, 2) = (5, 4) e M(2, 1) = (4, 5). Logo, a + 2b = 5, 2a + b = 4, c + 2d = 4 e 2c + d = 5.
- Resolvendo, obtemos a = 1, b = 2, c = 2 e d = 1. Portanto, M = [[1, 2], [2, 1]]. Para o comando (3, 1), a resposta é (1·3 + 2·1, 2·3 + 1·1) = (5, 7), correspondente à alternativa A.
- O gabarito oficial A está correto. B, C, D e E apresentam matrizes que não reproduzem simultaneamente os dois pares de calibração. Em particular, E troca a disposição dos coeficientes e prevê (19, 17), não (5, 7).
💡 Dica: Use os vetores de comando como colunas para encontrar a matriz e aplique-a a (3, 1).
Alternativa por alternativa
A matriz [[1, 2], [2, 1]] transforma (1, 2) em (5, 4) e (2, 1) em (4, 5), conforme os dados. Aplicada a (3, 1), resulta em (1 x 3 + 2 x 1, 2 x 3 + 1 x 1) = (5, 7).
Coloca as componentes das respostas em ordem trocada e calcula (4*3+5*1, 5*3+4*1) = (17, 19); a matriz assim formada não reproduz a correspondência dada.
Ao copiar as respostas para a matriz, repete o valor 4 na última posição e calcula (5*3+4*1, 4*3+4*1) = (19, 16); essa matriz não satisfaz os dois pares de calibração.
Troca os valores das componentes dos vetores de resposta ao montar a matriz e calcula (2*3+1*1, 1*3+2*1) = (7, 5); a correspondência registrada não tem as componentes trocadas.
Por que engana: Organizar os vetores de comando como linhas, invertendo a matriz de transformação.
Usa os vetores de resposta como linhas da matriz, obtendo (5*3+4*1, 4*3+5*1) = (19, 17); esses valores são imagens dos vetores de comando, não as linhas da matriz.
Raio-X da questão
Transformação linear representada por matriz
avaliacao
Sistemas lineares simples · Multiplicação de matrizes e vetores
Multiplicação de matriz por vetor
Organizar os vetores de comando como linhas, invertendo a matriz de transformação.
cientifico
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