Em um exercício de planejamento dos bombeiros, três tipos de equipe - Alfa, Bravo e Charlie - são mobilizados…

Questão

Em um exercício de planejamento dos bombeiros, três tipos de equipe - Alfa, Bravo e Charlie - são mobilizados em quantidades inteiras. Cada equipe consome kits de mangueiras, aparelhos respiratórios e câmeras térmicas. As linhas da matriz representam esses recursos, nessa ordem; as colunas representam as equipes Alfa, Bravo e Charlie. Na configuração inicial, o consumo por equipe é A = [[2, 1, 1], [1, 2, 1], [1, 1, 2]]. Para a operação planejada, os totais reservados são b = [20, 16, 16], na mesma ordem dos recursos. Em uma revisão do protocolo, cada equipe Charlie passa a exigir dois kits de mangueiras, em vez de um; os demais consumos e os totais reservados não mudam. Se x = [a, v, c] representa as quantidades de equipes Alfa, Bravo e Charlie, compare a solução de A x = b com a solução após a revisão do protocolo. Que alteração ocorre na composição das equipes e as duas configurações são viáveis com quantidades inteiras não negativas? Apresente os vetores de cada configuração e sustente sua conclusão por meio do modelo matricial.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Na configuração inicial, A x = b resulta em x = [7, 3, 3]. Após a revisão, a matriz passa a ser A' = [[2, 1, 2], [1, 2, 1], [1, 1, 2]], e A' x = b resulta em x = [4, 4, 4]. Portanto, a configuração revisada reduz em 3 as equipes Alfa e aumenta em 1 as equipes Bravo e em 1 as Charlie. As duas configurações são viáveis, pois todos os valores são inteiros não negativos e satisfazem seus respectivos sistemas.

Explicação

Na configuração inicial, as equações 2a + v + c = 20, a + 2v + c = 16 e a + v + 2c = 16 dão (a, v, c) = (7, 3, 3). Com o novo consumo de mangueiras por equipe Charlie, a primeira equação passa a ser 2a + v + 2c = 20; junto às outras duas, ela dá (a, v, c) = (4, 4, 4). A substituição em cada sistema confirma os totais informados e ambas as soluções são inteiras e não negativas.

Raio-X da questão

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