Em um submarino de pesquisa, a equipe de segurança pode emitir sinais de quatro posições usando sete símbolos…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um submarino de pesquisa, a equipe de segurança pode emitir sinais de quatro posições usando sete símbolos distintos: dois de alarme, três de direção e dois de pressão. Um sinal válido começa com um símbolo de alarme, termina com um símbolo de direção, não repete símbolos e contém exatamente um símbolo de pressão nas duas posições centrais. Um técnico afirma que há 120 sinais válidos, pois calculou 2 × 3 × 5 × 4, contando as escolhas para as posições inicial, final e centrais. Considerando o texto, como essa afirmação deve ser avaliada?
- A) A afirmação está incorreta: há 36 sinais válidos, pois basta escolher um símbolo de pressão e um de outro tipo para o centro.
- B) A afirmação está incorreta: há 72 sinais válidos, pois as posições centrais devem conter exatamente um símbolo de pressão.
- C) A afirmação está incorreta: há 60 sinais válidos, pois os pares centrais podem ser escolhidos entre os cinco símbolos restantes.
- D) A afirmação está incorreta: há 96 sinais válidos, pois há quatro opções para cada uma das duas posições centrais.
- E) A afirmação está incorreta: há 48 sinais válidos, pois as posições centrais podem combinar um símbolo de pressão com um dos outros símbolos.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Escolhem-se o símbolo inicial de alarme e o final de direção: 2 × 3 possibilidades.
- Restam 2 símbolos de pressão e 3 símbolos que não são de pressão para as posições centrais. Para haver exatamente um símbolo de pressão, escolhe-se 1 de cada grupo: 2 × 3 possibilidades.
- Os dois símbolos centrais podem aparecer em 2 ordens. Logo, o total é 2 × 3 × 2 × 3 × 2 = 72 sinais válidos. A afirmação de 120 está incorreta, e a alternativa B apresenta o resultado correto.
- A está errada porque não contabiliza todas as escolhas e ordens centrais; C não considera corretamente a condição de exatamente uma pressão; D permite combinações centrais inválidas; E não conta corretamente as escolhas e as duas ordens possíveis.
💡 Dica: Comece pelas posições das pontas (alarme no início, direção no fim) e veja quais símbolos sobram. Depois, separe os que sobram em "pressão" e "não pressão" para formar o centro com exatamente um de pressão, lembrando da ordem.
Alternativa por alternativa
O aluno considera a escolha de uma pressão e de um símbolo de outro tipo, mas não contabiliza corretamente as escolhas possíveis para os símbolos externos e a ordem dos símbolos centrais.
Fixados os símbolos inicial e final, restam cinco símbolos para as posições centrais, sendo dois de pressão e três de outros tipos. Para obter exatamente um símbolo de pressão, há 2 × 3 × 2 = 12 pares ordenados; para os extremos, há 2 × 3 = 6 escolhas. Logo, são 12 × 6 = 72 sinais. O cálculo do técnico inclui pares centrais sem símbolo de pressão ou com dois deles.
O aluno trata os símbolos centrais como pares escolhidos entre os cinco restantes, sem garantir que haja exatamente um símbolo de pressão em cada par.
O aluno supõe que cada posição central tem quatro opções independentes, ignorando a exigência de exatamente uma pressão e a proibição de repetir símbolos.
O aluno identifica que o par central deve combinar uma pressão com outro símbolo, mas conta de forma incompleta as possibilidades, especialmente as duas ordens do par.
Raio-X da questão
Princípio fundamental da contagem (multiplicativo) com restrições de posição, sem repetição, escolhendo por grupos e considerando a ordem (permutação).
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