Em um projeto de monitoramento da qualidade do ar junto a uma ciclovia, sensores recebem identificadores…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um projeto de monitoramento da qualidade do ar junto a uma ciclovia, sensores recebem identificadores formados por três letras seguidas de dois algarismos. Para evitar ambiguidades, as letras devem ser distintas e deve haver exatamente uma vogal entre elas. O conjunto disponível tem 6 letras, sendo 2 vogais e 4 consoantes. Os algarismos, escolhidos entre 0 e 9, também devem ser distintos. Quantos identificadores diferentes podem ser formados de acordo com as regras do projeto?
- A) 7 200 identificadores
- B) 5 760 identificadores
- C) 6 480 identificadores
- D) 4 320 identificadores
- E) 8 640 identificadores
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- As três letras ocupam posições distintas. Escolhemos a posição da única vogal (3 opções) e a vogal (2 opções). Para as outras posições, escolhemos e ordenamos 2 das 4 consoantes: 4 × 3 = 12. Assim, há 3 × 2 × 12 = 72 sequências de letras.
- Para os algarismos, há 10 opções para o primeiro e 9 para o segundo, pois devem ser distintos: 10 × 9 = 90.
- Pelo princípio multiplicativo, 72 × 90 = 6 480 identificadores. Portanto, C está correta. A (7 200) superestima o total; B (5 760) e D (4 320) subestimam; E (8 640) superestima. Esses resultados não correspondem à contagem de 72 sequências de letras e 90 pares de algarismos distintos.
💡 Dica: Divida o problema em duas partes independentes: as letras e os algarismos. Nas letras, decida primeiro onde fica a única vogal e depois ordene as consoantes restantes, lembrando que não há repetição.
Alternativa por alternativa
Provavelmente contou mais possibilidades para as letras ou para os algarismos do que as regras permitem, por exemplo, admitindo alguma repetição. O total correto é o produto de 72 sequências de letras por 90 pares de algarismos.
Provavelmente subestimou as permutações das letras ou dos algarismos, deixando de considerar alguma ordem possível. As posições importam tanto nas três letras quanto nos dois algarismos.
A vogal pode ocupar 3 posições; há 2 escolhas para ela e 4 e 3 escolhas ordenadas para as consoantes. Para os algarismos, há 10 e 9 escolhas. Assim, 3 × 2 × 4 × 3 × 10 × 9 = 6 480.
Provavelmente contou apenas parte das maneiras de posicionar a vogal ou de ordenar as consoantes. A vogal pode ocupar qualquer uma das três posições, e as duas consoantes também têm ordem.
Provavelmente superestimou as possibilidades ao permitir repetições, apesar de as letras e os algarismos precisarem ser distintos. A contagem correta é 72 × 90.
Raio-X da questão
Princípio multiplicativo e arranjos simples (contagem com elementos distintos e ordem importando), incluindo casos com restrição de posição.
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