Em um sistema de segurança usado para proteger o acesso a equipamentos de uma rede de pesquisa, cada código de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um sistema de segurança usado para proteger o acesso a equipamentos de uma rede de pesquisa, cada código de teste tem o formato LLDDD: duas letras maiúsculas seguidas de três algarismos. Para um lote específico, as letras devem ser escolhidas entre A, B, C, D, E e F, sem repetição. Os algarismos também não podem se repetir, o primeiro deles não pode ser zero e o último deve ser par. Quantos códigos diferentes podem ser formados para esse lote?
- A) 11.808 códigos.
- B) 7.680 códigos.
- C) 12.960 códigos.
- D) 9.840 códigos.
- E) 9.600 códigos.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Contar as letras. São 6 letras disponíveis (A a F), sem repetição, para 2 posições. Logo, 6 x 5 = 30 possibilidades para as letras.
- Contar os algarismos. O último algarismo deve ser par (0, 2, 4, 6 ou 8) e o primeiro não pode ser zero. Separe em dois casos.
- Caso 1, último algarismo igual a 0. O primeiro pode ser qualquer um de 1 a 9 (9 opções). O do meio pode ser qualquer dígito restante, exceto os dois já usados (8 opções). Total: 9 x 8 = 72.
- Caso 2, último algarismo igual a 2, 4, 6 ou 8 (4 opções). O primeiro deve ser de 1 a 9 e diferente do último (8 opções). O do meio deve ser diferente dos dois já usados (8 opções). Total: 4 x 8 x 8 = 256.
- Somar os casos: 72 + 256 = 328 combinações de algarismos.
- Multiplicar as letras pelos algarismos: 30 x 328 = 9.840 códigos. Esse é o resultado que encontrei de forma independente, e ele coincide com a alternativa D, que é o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas. A (11.808) resulta de permitir repetição nas letras (36 em vez de 30). B (7.680) resulta de esquecer o caso em que o último algarismo é zero. C (12.960) resulta de contar de forma errada as escolhas do último algarismo par e ignorar a dependência entre as posições. E (9.600) resulta de tratar as restrições de zero e de par como independentes, sem recalcular as opções.
💡 Dica: Conte separadamente as escolhas das letras e dos algarismos, considerando primeiro o último algarismo par.
Alternativa por alternativa
O aluno permitiu repetição de letras, usando 6 x 6 = 36 possibilidades em vez de 6 x 5 = 30, quando o enunciado exige letras sem repetição.
O aluno contou apenas os casos em que o último algarismo é par e diferente de zero, esquecendo que o zero também é par e é uma opção válida no final do código.
O aluno multiplicou as escolhas sem respeitar a dependência entre as posições, tratando o último algarismo como se tivesse 6 opções pares independentes do primeiro algarismo.
Há 6 opções para a primeira letra e 5 para a segunda. Para os algarismos, conte conforme o último: se for zero, há 9 opções para o primeiro e 8 para o do meio; se for um dos outros quatro pares, há 8 opções para o primeiro e 8 para o do meio. Assim, são 6 x 5 x [9 x 8 + 4 x 8 x 8] = 30 x 328 = 9.840 códigos.
O aluno tratou as restrições do primeiro algarismo (não ser zero) e do último (ser par) como independentes, sem recalcular o número de opções para o algarismo do meio conforme os dígitos já usados.
Por que engana: Contar as opções do primeiro algarismo sem ajustar quando o último algarismo é zero.
Raio-X da questão
Princípio multiplicativo com restrições de repetição e paridade.
fixacao
Princípio fundamental da contagem. · Contagem de escolhas sem repetição e números pares.
Contagem de códigos e princípio multiplicativo.
Contar as opções do primeiro algarismo sem ajustar quando o último algarismo é zero.
Segurança digital e proteção de redes.
cientifico
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