Em uma planta cartesiana de um parque, um sensor de monitoramento está instalado no ponto C = (2, -1). A área…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma planta cartesiana de um parque, um sensor de monitoramento está instalado no ponto C = (2, -1). A área de alcance do sensor é delimitada pela circunferência de centro C e raio 5 unidades. Uma trilha retilínea é representada pela equação y = 2x. Ao analisar o encontro entre a trilha e o limite de alcance, uma estudante substituiu y por 2x na equação da circunferência e concluiu que existe apenas um ponto de interseção, pois obteve x^2 = 4. Considerando a circunferência como o conjunto dos pontos que estão a 5 unidades de C, qual avaliação da conclusão da estudante está correta?
- A) A conclusão está incorreta: x^2 = 4 fornece x = 2 e x = -2, que determinam dois pontos distintos da trilha pertencentes à circunferência.
- B) A conclusão está incorreta: como a trilha atravessa a região alcançada pelo sensor, todos os pontos da trilha dentro dessa região pertencem à circunferência.
- C) A conclusão está incorreta: além dos dois pontos indicados pelas raízes, o centro da circunferência também pertence à trilha e ao seu limite de alcance.
- D) A conclusão está incorreta: a equação não possui solução real, portanto a trilha não encontra o limite de alcance do sensor.
- E) A conclusão está correta: a equação fornece um único valor de x, pois a raiz quadrada considerada é apenas a positiva.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- A circunferência tem centro C = (2, -1) e raio 5, logo sua equação é (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25. Passo 2: Substituindo y por 2x, temos (x - 2)^2 + (2x + 1)^2 = 25. Passo 3: Desenvolvendo, x^2 - 4x + 4 + 4x^2 + 4x + 1 = 25, o que resulta em 5x^2 + 5 = 25, ou seja, x^2 = 4. Passo 4: Como x^2 = 4 tem duas raízes reais, x = 2 e x = -2, a conclusão de que existe apenas um ponto está errada. Passo 5: Para x = 2, y = 2·2 = 4, e o ponto (2, 4) pertence à circunferência, pois (2 - 2)^2 + (4 + 1)^2 = 25. Passo 6: Para x = -2, y = -4, e o ponto (-2, -4) também pertence, pois (-2 - 2)^2 + (-4 + 1)^2 = 16 + 9 = 25. Passo 7: Portanto, há dois pontos distintos de interseção entre a trilha e o limite de alcance, o que torna a alternativa A correta, de acordo com o gabarito. Passo 8: Análise das demais: a alternativa B confunde o interior da região de alcance com o limite (a circunferência), pois os pontos internos não estão sobre ela; a alternativa C está errada porque o centro (2, -1) não pertence à trilha, já que para x = 2 a trilha tem y = 4; a alternativa D está errada porque x^2 = 4 possui soluções reais; a alternativa E está errada porque ignora a raiz negativa de x^2 = 4, que também é válida.
💡 Dica: Resolva x² = 4 e calcule y = 2x para cada valor de x.
Alternativa por alternativa
A equação da circunferência é (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25. Substituindo y = 2x, obtém-se 5x^2 + 5 = 25 e, portanto, x^2 = 4. As duas soluções, x = 2 e x = -2, correspondem aos pontos (2, 4) e (-2, -4); ambos estão a 5 unidades do centro C.
O estudante acredita que a trilha, por atravessar a área de alcance do sensor, contém infinitos pontos sobre o limite. Ele confunde a região interna (disco) com a circunferência, que é apenas o contorno.
O estudante supõe que o centro do sensor deve estar sobre a trilha. Não verifica se as coordenadas do centro satisfazem y = 2x, o que não ocorre com (2, -1), pois 2·2 = 4 é diferente de -1.
O estudante acredita que a equação não tem solução real, possivelmente por achar que x^2 = 4 não tem raiz real. Também pode ter errado a expansão e chegado a um termo independente que torna a equação impossível.
O estudante considera apenas a raiz quadrada positiva ao resolver x^2 = 4, esquecendo que o número negativo -2 também tem quadrado igual a 4. Assim, perde o segundo ponto de interseção.
Por que engana: Considerar apenas a raiz positiva ou confundir a região interna com a circunferência.
Raio-X da questão
Interseção entre reta e circunferência.
Identificar os ponto
Substituição de variáveis em equações. · Resolução de equações quadráticas simples.
Equação reduzida da circunferência e pontos de interseção.
Considerar apenas a raiz positiva ou confundir a região interna com a circunferência.
Tecnologia e monitoramento de espaços públicos.
Alcance de um sensor
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