Uma oficina de impressão 3D produz cubos maciços com diferentes medidas. A tabela relaciona a área de uma face…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Analisar funções definidas por uma ou mais sentenças (tabela do Imposto de Renda, contas de luz, água, gás etc.), em suas representações algébrica e gráfica, identificando domínios de validade, imagem, crescimento e decrescimento, e convertendo essas representações de uma para outra, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma oficina de impressão 3D produz cubos maciços com diferentes medidas. A tabela relaciona a área de uma face de cada cubo à sua capacidade interna, considerando cubos geometricamente semelhantes. Área da face (cm²) | Capacidade (cm³) 4 | 8 9 | 27 16 | 64 25 | 125 Com base no padrão da tabela, se a área da face de um cubo passar de 9 cm² para 36 cm², por qual fator sua capacidade será multiplicada?
- A) Por um fator 4, pois a capacidade é multiplicada na mesma proporção que a área da face.
- B) Por um fator 2, pois a capacidade varia com a raiz quadrada da área da face.
- C) Por um fator 16, pois a capacidade varia com o quadrado da área da face.
- D) Por um fator 64, pois a capacidade varia com o cubo da área da face.
- E) Por um fator 8, pois a capacidade varia com a área elevada a 3/2; assim, quadruplicar a área multiplica a capacidade por 4^(3/2) = 8.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Seja s a medida da aresta do cubo. A área de uma face é A = s^2 e a capacidade (volume) é V = s^3. Como s = raiz quadrada de A, temos V = A^(3/2), ou seja, a capacidade varia com a área elevada a 3/2. Passo 2: Confira na tabela: para A = 4, V = 4^(3/2) = 8; para A = 9, V = 27; para A = 16, V = 64; para A = 25, V = 125. O padrão se confirma. Passo 3: Quando a área passa de 9 para 36 cm², ela é multiplicada por 4 (36/9 = 4). A nova capacidade é multiplicada por 4^(3/2) = raiz quadrada de 4 elevada ao cubo = 2^3 = 8. Passo 4: Verificação direta: a área 9 corresponde a aresta 3 e capacidade 27; a área 36 corresponde a aresta 6 e capacidade 216. Como 216/27 = 8, o fator é 8. Passo 5: Por que as outras estão erradas: A supõe proporção direta com a área, o que ignora que o volume cresce com a terceira potência da aresta; B usa a raiz quadrada da área, que dá o fator da aresta (2), e não o do volume; C eleva a área ao quadrado, o que não corresponde à relação real entre área e volume; D eleva a área ao cubo, o que confunde a potência correta (que é 3/2, não 3). Resposta: E, que coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: A área cresce com o quadrado da aresta; o volume, com o cubo da aresta.
Alternativa por alternativa
Supõe que a capacidade cresce na mesma proporção que a área da face, como se as duas grandezas fossem diretamente proporcionais. Não percebe que o volume depende da aresta ao cubo.
Por que engana: Supor que a capacidade varia na mesma proporção que a área, respondendo fator 4.
Calcula corretamente que a aresta dobra (raiz de 4 = 2), mas aplica esse fator ao volume, esquecendo que o volume depende da aresta elevada ao cubo.
Acredita que a capacidade varia com o quadrado da área, aplicando a potência 2 em vez de 3/2. Confunde a relação entre área e volume de sólidos semelhantes.
Aplica a potência 3 sobre a área (4^3 = 64), confundindo o expoente do volume com o da aresta. O correto é o expoente 3/2 sobre a área.
Os dados seguem V = A^(3/2): por exemplo, para A = 9, V = 9^(3/2) = 27. Ao quadruplicar a área, o volume é multiplicado por 4^(3/2), que vale 8.
Raio-X da questão
Escala entre área e volume de cubos semelhantes.
Relacionar a área de
Área do quadrado e volume do cubo. · Potências e razão entre medidas.
Leis de escala e proporcionalidade entre grandezas geométricas.
Supor que a capacidade varia na mesma proporção que a área, respondendo fator 4.
Contexto de produção
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