— Para encurtar o deslocamento entre a biblioteca e o auditório, podemos abrir uma passagem reta? — perguntou…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
— Para encurtar o deslocamento entre a biblioteca e o auditório, podemos abrir uma passagem reta? — perguntou a coordenadora. Na planta do centro cultural, o percurso atual é formado por dois corredores perpendiculares: um mede 1 metro e o outro, 2 metros. A nova passagem ligará diretamente as extremidades desses corredores, formando a hipotenusa de um triângulo retângulo. O responsável pela obra adotará o metro como unidade e precisa registrar essa distância com exatidão para encomendar a faixa de piso. Com base nas medidas descritas, identifique a expressão que representa o comprimento do trajeto direto e que não corresponde a um número racional.
- A) A medida do trajeto direto é 5 m.
- B) A medida do trajeto direto é raiz quadrada de 3 m.
- C) A medida do trajeto direto é raiz quadrada de 4 m.
- D) A medida do trajeto direto é 3 m.
- E) A medida do trajeto direto é raiz quadrada de 5 m.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Os dois corredores são perpendiculares, então formam os catetos de um triângulo retângulo. Um cateto mede 1 m e o outro mede 2 m. A nova passagem é a hipotenusa.
- Pelo teorema de Pitágoras, hipotenusa^2 = cateto1^2 + cateto2^2. Logo, hipotenusa^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5.
- A hipotenusa é a raiz quadrada positiva de 5, ou seja, aproximadamente 2,236 m. Como 5 não é quadrado perfeito, raiz de 5 é um número irracional, o que atende ao enunciado. Assim, a alternativa E está correta, e o gabarito oficial está correto.
- Por que as outras estão erradas: A) 5 m é racional e corresponde a somar 1 + 2 + 2, o que não representa a hipotenusa. B) raiz de 3 m é irracional, mas resulta de um cálculo com 2^2 - 1 = 3, e não da soma dos quadrados dos catetos. C) raiz de 4 m é igual a 2 m, que é racional. D) 3 m é racional e corresponde à soma dos catetos (1 + 2), e não à hipotenusa.
💡 Dica: Use o teorema de Pitágoras para calcular a hipotenusa e identifique se o resultado é um número racional.
Alternativa por alternativa
O aluno esqueceu de extrair a raiz quadrada e tomou a soma 1 + 4 = 5 como o comprimento final, ou seja, confundiu a relação de Pitágoras com um cálculo sem raiz.
O aluno subtraiu os quadrados dos catetos (2^2 - 1^2 = 3) em vez de somá-los, o que o levou a uma raiz de 3 que parece irracional, mas está errada.
O aluno calculou o quadrado de apenas um dos catetos ou ignorou o cateto de 1 m, obtendo 2^2 = 4 e, a partir daí, raiz de 4, que é racional e igual a 2.
O aluno tratou a hipotenusa como a soma dos catetos (1 + 2 = 3), o que contradiz a ideia de que a diagonal de um triângulo retângulo é menor que a soma dos catetos e não segue o teorema de Pitágoras.
Os quadrados dos catetos somam 1 mais 4, obtendo-se raiz quadrada de 5. Como 5 não é quadrado perfeito, essa medida é irracional.
Raio-X da questão
teorema de Pitágoras e números irracionais
diagnostico
triângulos retângulos · números racionais e irracionais
Estude o teorema de Pitágoras e a definição de números racionais e irracionais.
Confundir a hipotenusa com um dos catetos ou não reconhecer que a raiz quadrada de 5 é um número irracional.
pensamento_critico
cotidiano
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