Uma artesã planeja dois móbiles formados por placas triangulares equiláteras. No primeiro projeto, cada placa…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma artesã planeja dois móbiles formados por placas triangulares equiláteras. No primeiro projeto, cada placa tem lado de 2 cm; no segundo, cada placa tem lado de 4 cm. Para posicionar um suporte, ela precisa comparar a altura de cada triângulo, medida do vértice até o ponto médio do lado oposto. Compare as medidas das alturas nos dois projetos e classifique cada comprimento como racional ou irracional.
- A) A altura do triângulo de lado 2 cm mede 2 vezes raiz quadrada de 3 cm, e a do triângulo de lado 4 cm mede 4 vezes raiz quadrada de 3 cm. Ambos os comprimentos são irracionais; a segunda altura é o dobro da primeira.
- B) A altura do triângulo de lado 2 cm mede raiz quadrada de 3 cm, e a do triângulo de lado 4 cm mede 2 vezes raiz quadrada de 3 cm. Ambos os comprimentos são irracionais; a segunda altura é o dobro da primeira.
- C) A altura do triângulo de lado 2 cm mede 4 vezes raiz quadrada de 2 sobre 3 cm, e a do triângulo de lado 4 cm mede 8 vezes raiz quadrada de 2 sobre 3 cm. Ambos são irracionais; a segunda é o dobro da primeira.
- D) A altura do triângulo de lado 2 cm mede raiz quadrada de 6 cm, e a do triângulo de lado 4 cm mede 2 vezes raiz quadrada de 6 cm. Ambos os comprimentos são irracionais; a segunda altura é o dobro da primeira.
- E) A altura do triângulo de lado 2 cm mede 2 vezes raiz quadrada de 3 sobre 3 cm, e a do triângulo de lado 4 cm mede 4 vezes raiz quadrada de 3 sobre 3 cm. Ambos são irracionais; a segunda é o dobro da primeira.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- A altura de um triângulo equilátero divide a base ao meio e forma um triângulo retângulo. Pelo teorema de Pitágoras, h = (lado × raiz de 3) / 2.
- Para lado 2 cm, h = raiz de 3 cm. Para lado 4 cm, h = 2 vezes raiz de 3 cm. A segunda altura é o dobro da primeira.
- Raiz de 3 é irracional, assim como 2 vezes raiz de 3. Portanto, a alternativa B está correta.
- A alternativa A apresenta alturas duas vezes maiores que as corretas; C usa uma expressão incompatível com Pitágoras; D dá valores com fator raiz de 6 incorreto; e E divide por 3, em vez de por 2.
💡 Dica: Divida o triângulo em dois triângulos retângulos e aplique Pitágoras.
Alternativa por alternativa
O aluno pode confundir a altura com o dobro da altura correta para cada lado, embora perceba que a altura dobra quando o lado dobra. A altura de um triângulo equilátero é lado vezes raiz de 3 dividido por 2.
A altura de um triângulo equilátero divide a base ao meio e forma um triângulo retângulo. Para lado s, sua medida é raiz quadrada de (3s²/4). Assim, para lados de 2 cm e 4 cm, as alturas são, respectivamente, raiz quadrada de 3 cm e 2 vezes raiz quadrada de 3 cm; ambas são irracionais.
O aluno provavelmente aplica uma expressão incorreta para a altura, confundindo a relação pitagórica com uma fórmula envolvendo raiz de 2. Embora preserve a proporção entre as alturas, os valores não correspondem ao triângulo equilátero.
O aluno pode obter raiz de 6 ao combinar incorretamente os comprimentos no teorema de Pitágoras. Para lado 2, a metade da base mede 1, levando à altura raiz de 3, não raiz de 6.
O aluno provavelmente divide por 3 em vez de por 2 ao calcular a altura, confundindo a relação entre a altura e o lado do triângulo equilátero. Isso produz valores menores que os corretos.
Raio-X da questão
Altura de triângulo equilátero e irracionalidade de comprimentos
avaliacao
Teorema de Pitágoras · Identificação de números racionais e irracionais
Radicais irracionais e relações métricas no triângulo equilátero
Usar o lado como altura ou aplicar incorretamente o teorema de Pitágoras.
cotidiano
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