Moradores de Vila das Flores planejam montar um arco decorativo para o festival de primavera. O contorno do…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Converter representações algébricas de funções polinomiais de 2º grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais uma variável for diretamente proporcional ao quadrado da outra, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica, entre outros materiais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Moradores de Vila das Flores planejam montar um arco decorativo para o festival de primavera. O contorno do arco, no sistema de coordenadas cartesianas, é definido pela função f(x)=-0,5x^2+4x+1, onde x e f(x) estão em metros. Para construir uma estrutura simétrica, eles precisam conhecer exatamente o ponto mais alto da parábola. A partir do texto-base, converta a função apresentada na forma geral para a forma de vértice e identifique as coordenadas do ponto máximo da curva.
- A) (4,9)
- B) (2,5)
- C) (3,7)
- D) (5,11/2)
- E) (4,-9)
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique os coeficientes de f(x) = -0,5x^2 + 4x + 1: a = -0,5, b = 4 e c = 1. Como a é negativo, a parábola tem concavidade para baixo e possui um ponto de máximo, que é o vértice. Passo 2: Calcule a abscissa do vértice com xv = -b/(2a) = -4/(2 · (-0,5)) = -4/(-1) = 4. Passo 3: Calcule a ordenada substituindo x = 4 na função: f(4) = -0,5 · 16 + 4 · 4 + 1 = -8 + 16 + 1 = 9. Assim, o vértice é (4,9). Passo 4: Confirme convertendo para a forma de vértice: f(x) = -0,5(x - 4)^2 + 9. Desenvolvendo, -0,5(x^2 - 8x + 16) + 9 = -0,5x^2 + 4x - 8 + 9 = -0,5x^2 + 4x + 1, que coincide com a função original. Passo 5: Como a = -0,5 < 0, o vértice é o ponto mais alto, com y máximo igual a 9 metros em x = 4 metros. Por isso a alternativa A está correta e coincide com o gabarito oficial. Passo 6: As outras alternativas estão erradas: B (2,5) não é o vértice porque f(2) = 7 e a abscissa correta é 4; C (3,7) não é o vértice porque f(3) = 8,5; D (5, 11/2) não é o vértice porque f(5) = 8,5 e a abscissa correta é 4; E (4,-9) tem ordenada com sinal trocado, pois f(4) = 9 e não -9.
💡 Dica: Converta a função para a forma de vértice usando fórmula e identifique o ponto máximo.
Alternativa por alternativa
Vértice em x=-b/(2a)=4 e f(4)=-0,5·16+16+1=9
O aluno provavelmente calculou a abscissa como b/2 ignorando o coeficiente a e o sinal da fórmula -b/(2a), obtendo x = 2. Depois não recalculou corretamente a ordenada.
O aluno provavelmente errou o cálculo do vértice ou aplicou uma fórmula sem o devido cuidado, chegando a x = 3. A ordenada 7 também não corresponde a f(3), que vale 8,5.
Por que engana: Confundir os coeficientes ao aplicar a fórmula do vértice ou calcular incorretamente as coordenadas.
O aluno provavelmente calculou mal a abscissa, obtendo x = 5, e atribuiu ao vértice uma ordenada fracionária 11/2 sem substituir corretamente na função. O valor correto de x é 4 e f(4) = 9.
O aluno acertou a abscissa x = 4, mas errou o sinal ao calcular f(4), obtendo -9, possivelmente por achar que, com a negativo, a altura do ponto máximo também deveria ser negativa. Na verdade, f(4) = 9.
Raio-X da questão
função quadrática forma vértice
avaliacao
função quadrática forma geral
estude conversão de função quadrática da forma geral para vértice
Confundir os coeficientes ao aplicar a fórmula do vértice ou calcular incorretamente as coordenadas.
tomada_decisao
cotidiano
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