Uma família acompanha o consumo de água de sua residência para planejar as despesas mensais. A companhia…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Analisar funções definidas por uma ou mais sentenças (tabela do Imposto de Renda, contas de luz, água, gás etc.), em suas representações algébrica e gráfica, identificando domínios de validade, imagem, crescimento e decrescimento, e convertendo essas representações de uma para outra, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma família acompanha o consumo de água de sua residência para planejar as despesas mensais. A companhia responsável pela distribuição cobra uma tarifa fixa de R$ 15,00 e uma parcela variável, calculada por faixas de consumo: os primeiros 10 m³ custam R$ 2,50 por metro cúbico; os 20 m³ seguintes, correspondentes ao intervalo de 10 m³ até 30 m³, custam R$ 3,00 por metro cúbico; e cada metro cúbico que ultrapassar 30 m³ custa R$ 5,00. Considere x como o consumo mensal, em m³, com x = 0. Com base no texto, qual expressão algébrica representa corretamente o custo mensal C(x), em reais, em função do consumo x, considerando que cada faixa cobra apenas os metros cúbicos nela incluídos?
- A) C(x) = 2,5x, se 0 ≤ x ≤ 10; 2,5·10 + 3(x − 10), se 10 < x ≤ 30; 2,5·10 + 3·20 + 5(x − 30), se x > 30.
- B) C(x) = 15 + 2,5x, se 0 ≤ x ≤ 10; 15 + 2,5·10 + 3(x − 11), se 10 < x ≤ 30; 15 + 2,5·10 + 3·20 + 5(x − 30), se x > 30.
- C) C(x) = 15 + 2,5x, se 0 ≤ x ≤ 10; 15 + 2,5·10 + 3(x − 10), se 10 < x ≤ 30; 15 + 2,5·10 + 3·21 + 5(x − 30), se x > 30.
- D) C(x) = 15 + 2,5x, se 0 ≤ x ≤ 10; 15 + 3x, se 10 < x ≤ 30; 15 + 5x, se x > 30.
- E) C(x) = 15 + 2,5x, se 0 ≤ x ≤ 10; 15 + 2,5·10 + 3(x − 10), se 10 < x ≤ 30; 15 + 2,5·10 + 3·20 + 5(x − 30), se x > 30.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Identifique os componentes da conta. A tarifa fixa de R$ 15,00 é cobrada todo mês, independentemente do consumo, e entra em todas as faixas. A parte variável depende das faixas de consumo, e cada faixa cobra apenas os metros cúbicos nela incluídos.
- Faixa de 0 a 10 m³. O custo variável é 2,5x. Logo, C(x) = 15 + 2,5x para 0 ≤ x ≤ 10.
- Faixa de 10 a 30 m³. Os primeiros 10 m³ já custaram 2,5·10 = 25 reais. Os metros cúbicos excedentes, (x − 10), custam 3 reais cada. Logo, C(x) = 15 + 2,5·10 + 3(x − 10) para 10 < x ≤ 30. Confira a continuidade em x = 10: 15 + 25 = 40, que coincide com o valor da faixa anterior.
- Faixa acima de 30 m³. Os primeiros 10 m³ custam 25 reais, os 20 m³ seguintes custam 3·20 = 60 reais, e cada metro cúbico excedente a 30 custa 5 reais. Logo, C(x) = 15 + 2,5·10 + 3·20 + 5(x − 30) para x > 30.
- Compare com as alternativas. A alternativa E coincide exatamente com essas três expressões e é a correta, de acordo com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas. A omite a tarifa fixa de R$ 15,00 em todas as faixas. B usa 3(x − 11), o que deslocaria a faixa em 1 m³ e geraria salto em x = 10. C usa 3·21 na última faixa, contando 21 m³ onde deveria haver 20 m³. D aplica a taxa da faixa ao consumo total, em vez de apenas aos metros cúbicos dela, e em x = 10 resulta em 45 reais, diferente de 40 reais.
💡 Dica: Analise os intervalos de consumo e calcule o custo acumulado para cada faixa.
Alternativa por alternativa
O aluno esquece a tarifa fixa de R$ 15,00 e considera apenas a parcela variável por faixas de consumo, como se a conta dependesse só do volume de água.
Por que engana: Confundir os intervalos de consumo e não acumular corretamente os custos das faixas anteriores.
Na segunda faixa, o aluno desloca o início da cobrança para 11 m³ (x − 11), contando um metro cúbico a menos que o intervalo de 10 a 30 m³, o que cria uma descontinuidade em x = 10.
Na faixa acima de 30 m³, o aluno usa 3·21 para os metros cúbicos da faixa intermediária, quando o intervalo de 10 a 30 m³ tem exatamente 20 m³. É um erro de contagem.
O aluno aplica a taxa da faixa atingida (3 ou 5 reais) a todo o consumo x, em vez de cobrar cada faixa apenas pelos metros cúbicos nela incluídos. Isso ignora a cobrança progressiva por faixas.
Até 10 m³, o custo variável é 2,5x. Entre 10 m³ e 30 m³, os primeiros 10 m³ custam 2,5·10, e somente o excedente x − 10 é cobrado a R$ 3,00 por m³. Acima de 30 m³, somam-se o custo dos primeiros 10 m³, o custo dos 20 m³ seguintes e o valor de 5(x − 30), correspondente ao excedente de 30 m³. Em todos os casos, acrescenta-se a tarifa fixa de R$ 15,00.
Raio-X da questão
função por partes, custo tarifário
avaliacao
função afim e cálculo básico · expressões algébricas com variáveis
estude funções definidas por partes e cálculo de custo acumulado
Confundir os intervalos de consumo e não acumular corretamente os custos das faixas anteriores.
pensamento_critico
cotidiano
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