Por que as filas de cadeiras de um auditório parecem crescer sempre no mesmo ritmo conforme avançamos? Em um…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer se duas expressões algébricas obtidas para descrever a regularidade de uma mesma sequência numérica são ou não equivalentes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Por que as filas de cadeiras de um auditório parecem crescer sempre no mesmo ritmo conforme avançamos? Em um evento, a primeira fila tem 6 cadeiras e cada fila seguinte ganha 4 cadeiras a mais que a anterior. Dois alunos escreveram fórmulas para calcular o número de cadeiras na n-ésima fila: A(n) = 4n + 2 B(n) = 2(2n + 1) Analise as expressões A(n)=4n+2 e B(n)=2(2n+1) para a sequência descrita no texto-base e determine se são equivalentes.
- A) As duas expressões são equivalentes porque produzem o mesmo primeiro termo.
- B) As expressões não são equivalentes porque têm coeficientes distintos para n.
- C) As expressões não são equivalentes porque em B(n) falta o termo independente 2.
- D) As duas expressões são equivalentes porque possuem a mesma razão de crescimento entre termos consecutivos.
- E) As duas expressões são equivalentes porque ao expandir B(n) obtém-se A(n).
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Identifique a sequência do texto. A primeira fila tem 6 cadeiras e cada fila seguinte ganha 4, então o termo geral é a(n) = 6 + 4(n - 1). Desenvolvendo: a(n) = 6 + 4n - 4 = 4n + 2.
- Compare com A(n) = 4n + 2. Ela coincide exatamente com o termo geral da sequência, portanto A(n) descreve corretamente o número de cadeiras na n-ésima fila.
- Analise B(n) = 2(2n + 1). Aplicando a propriedade distributiva: 2 * 2n + 2 * 1 = 4n + 2. Logo B(n) = 4n + 2 para todo n.
- Como as duas expressões são idênticas após a expansão, elas são equivalentes e produzem o mesmo valor para qualquer n. Por isso a alternativa E está correta, e o gabarito oficial está certo.
- Por que as outras estão erradas: A tem a conclusão de equivalência, mas coincidir apenas no primeiro termo não garante igualdade para os demais; B está errada porque o coeficiente de n é 4 nas duas expressões, após a expansão; C está errada porque o termo independente 2 aparece em B(n) ao multiplicar 2 por 1 dentro dos parênteses; D está errada porque ter a mesma razão de crescimento não basta, já que duas sequências podem crescer igualmente e diferir por uma constante.
💡 Dica: Compare as expressões algébricas e verifique se são equivalentes ao expandir.
Alternativa por alternativa
O aluno verificou apenas que A(1) = 6 e B(1) = 6 e concluiu que as expressões são iguais. Coincidir em um único termo não prova que as fórmulas são equivalentes para todo n.
Por que engana: Confundir equivalência de expressões com igualdade apenas do primeiro termo ou coeficiente.
O aluno não expandiu B(n) e, ao ver o 2 fora dos parênteses e o 2n dentro, achou que há coeficientes diferentes para n. Ele não percebeu que 2 * 2n = 4n.
O aluno acredita que B(n) não tem termo independente porque não enxerga o 2 como resultado de 2 * 1. Ele não aplicou corretamente a propriedade distributiva.
O aluno percebeu corretamente que ambas as fórmulas têm razão 4, mas concluiu que isso garante equivalência. Sequências com a mesma razão podem diferir por uma constante, então a razão igual não basta.
Expandindo B(n)=2(2n+1) resulta 4n+2, exatamente A(n), comprovando equivalência.
Raio-X da questão
sequência aritmética e equivalência algébrica
avaliacao
sequência aritmética · expressões algébricas
Estude sequências aritméticas e propriedades de expressões algébricas equivalentes.
Confundir equivalência de expressões com igualdade apenas do primeiro termo ou coeficiente.
pensamento_critico
cotidiano
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