Considere o seguinte fluxograma: escolhe-se, com probabilidade igual, uma de duas urnas. Urna A: 2 bolas…

Questão

Considere o seguinte fluxograma: escolhe-se, com probabilidade igual, uma de duas urnas. Urna A: 2 bolas vermelhas e 1 azul. Urna B: 1 bola vermelha e 2 azuis. Escolhida a urna, retira-se uma bola sem reposição e depois retira-se uma segunda bola da mesma urna. Mostre se os eventos “primeira bola é vermelha” e “segunda bola é vermelha” são independentes. Calcule P(segundo = vermelha) e justifique todos os passos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Modelo de resposta: Seja escolha de urna A ou B com prob. 1/2 cada. Em A: P(primeira=V|A)=2/3; se primeira V, resta 1V+1A ? P(seg|primeira V,A)=1/2; se primeira A (1/3), resta 2V+0A ? P(seg|primeira A,A)=1. Contribuição de A para P(segundo): (1/2)[(2/3)(1/2)+(1/3)(1)]=(1/2)(2/6+1/3)=(1/2)(2/3)=1/3. Em B: P(primeira=V|B)=1/3; se primeira V, resta 0V+2A ? P(seg|primeira V,B)=0; se primeira A (2/3), resta 1V+1A ? P(seg|primeira A,B)=1/2. Contribuição de B: (1/2)[(1/3)·0+(2/3)(1/2)]=(1/2)(1/3)=1/6. Assim P(segundo)=1/3+1/6=1/2. P(primeiro)= (1/2)(2/3+1/3)=1/2. P(ambos vermelhos)= contribuição de A: (1/2)(2/3)(1/2)=1/6; contribuição de B é zero. Logo P(both)=1/6 e P(segundo|primeiro)=P(both)/P(primeiro)=(1/6)/(1/2)=1/3. Como P(segundo)=1/2 ? P(segundo|primeiro)=1/3, os eventos não são independentes. Retorne todos os cálculos e a conclusão.

Explicação

Os cálculos demonstram que a probabilidade de a segunda bola ser vermelha, dado que a primeira é vermelha, é diferente da probabilidade marginal da segunda bola ser vermelha. Isso indica que a ocorrência de um evento influencia a probabilidade do outro, caracterizando a dependência entre os eventos. Portanto, a conclusão é que os eventos não são independentes.

Raio-X da questão

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