Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 azuis. Retira-se a 1ª bola ao acaso. Se ela for vermelha, recoloca-se…

Questão

Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 azuis. Retira-se a 1ª bola ao acaso. Se ela for vermelha, recoloca-se essa bola e adiciona-se mais uma vermelha; se for azul, a bola não é reposta. Em seguida retira-se a 2ª bola. Defina A='1ª é vermelha' e B='2ª é vermelha'. Determine se A e B são independentes e calcule P(A), P(B), P(B|A) e P(A n B). Explique passo a passo.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

P(A)=3/5. Se A ocorre (1ª vermelha): após remover a vermelha há 2R e 2B; recoloca-se a retirada e adiciona-se mais uma vermelha ? urna com 4R e 2B (total 6). Então P(B|A)=4/6=2/3. Se A não ocorre (1ª azul): retira-se uma azul e não repõe ? urna com 3R e 1B (total 4), P(B|A^c)=3/4. P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A^c)P(A^c)=(2/3)(3/5)+(3/4)(2/5)=2/5+3/10=7/10. P(AnB)=P(A)P(B|A)=(3/5)(2/3)=2/5. Verificando independência: P(A)P(B)=(3/5)(7/10)=21/50?2/5, portanto A e B são dependentes.

Explicação

A análise das probabilidades mostra que a ocorrência de A (1ª bola vermelha) influencia diretamente a probabilidade de B (2ª bola ser vermelha), já que a composição da urna muda dependendo do resultado da primeira retirada. O cálculo de P(B) considera ambas as possibilidades da primeira retirada, levando em conta a alteração na quantidade de bolas. A verificação da independência revela que P(A)P(B) não é igual a P(A n B), confirmando que A e B são eventos dependentes.

Raio-X da questão

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