Duas urnas: Urna I contém 2 bolas vermelhas e 3 azuis; Urna II contém 4 vermelhas e 2 azuis. Escolhe-se uma…

Questão

Duas urnas: Urna I contém 2 bolas vermelhas e 3 azuis; Urna II contém 4 vermelhas e 2 azuis. Escolhe-se uma urna ao acaso (probabilidade 1/2 para cada) e em seguida extrai-se uma bola. Defina A = "foi escolhida a Urna I" e B = "a bola extraída é vermelha". Determine se A e B são independentes e calcule P(A n B) e P(A)·P(B).

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

P(A)=1/2. P(B|A)=2/5; P(B|Urna II)=4/6=2/3. Pela probabilidade total, P(B)=P(A)P(B|A)+P(A^c)P(B|Urna II)=(1/2)(2/5)+(1/2)(2/3)=(1/2)((2/5)+(2/3))=(1/2)((6/15+10/15))=(1/2)(16/15)=8/15. P(A n B)=P(A)·P(B|A)=(1/2)·(2/5)=1/5 = 3/15. P(A)·P(B)=(1/2)·(8/15)=4/15. Como P(A n B)=3/15 ? 4/15 = P(A)P(B), A e B são dependentes.

Explicação

A probabilidade de A e B serem independentes é verificada comparando P(A n B) com P(A)·P(B). Neste caso, P(A n B) é igual a 3/15, enquanto P(A)·P(B) resulta em 4/15. Como esses valores são diferentes, isso indica que os eventos A e B não são independentes.

Raio-X da questão

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