Demonstre a expressão para o raio R do círculo circunscrito de um polígono regular de n lados (n=3) em função…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Demonstre a expressão para o raio R do círculo circunscrito de um polígono regular de n lados (n=3) em função do comprimento do lado s>0. Escreva a fórmula de R em termos de s e n.
- A) R = 5 cm; ângulo central = 60°
- B) R = 10 cm; ângulo central = 30°
- C) R = s / (2·sin(p/n)).
- D) R = 2,5 cm; ângulo central = 90°
- E) R = 7 cm; ângulo central = 45°
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Em um polígono regular de n lados, o ângulo central (formado por O, centro da circunferência circunscrita, e dois vértices consecutivos) mede 360° / n. Logo, o triângulo formado por O e por um lado de comprimento s é isósceles, com dois lados iguais a R e base s.
- Traçando a altura do triângulo isósceles a partir de O até o ponto médio do lado s, obtém-se dois triângulos retângulos. Em cada um, o ângulo em O mede a metade do ângulo central, ou seja, pi/n radianos (180° / n). O cateto oposto a esse ângulo mede s/2 e a hipotenusa é R.
- Pela definição de seno no triângulo retângulo, sen(pi/n) = (s/2) / R. Isolando R, obtém-se R = s / (2·sen(pi/n)). Essa é a fórmula geral, em função de s e n. (Na alternativa C, 'p/n' deve ser lido como pi/n.)
- Verificação para n = 3 (triângulo equilátero): R = s / (2·sen 60°) = s / (2·raiz de 3 / 2) = s / raiz de 3 = s·raiz de 3 / 3. Esse é o resultado conhecido para o raio do círculo circunscrito de um triângulo equilátero, o que confirma a fórmula.
- Por que as demais estão erradas: a alternativa A fixa R em 5 cm, ignorando que R depende de s, e seu ângulo central de 60° não corresponde a um triângulo (que tem 120°). A alternativa B fixa R em 10 cm e usa 30°, que não é o ângulo central de nenhum triângulo regular. A alternativa D fixa R em 2,5 cm e usa 90°, que é o ângulo central do quadrado. A alternativa E fixa R em 7 cm e usa 45°, que é o ângulo central do octógono. Nenhuma delas é uma expressão em função de s e n, como o enunciado pede.
- Conclusão: a alternativa correta é a C, que coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Considere a relação entre o lado e o raio do círculo circunscrito.
Alternativa por alternativa
Acredita que o raio do círculo circunscrito é um valor fixo (5 cm), sem perceber que ele depende do comprimento do lado s. Também usa 60° como ângulo central, confundindo o ângulo central do triângulo (120°) com o ângulo interno do triângulo equilátero.
Trata o raio como um valor numérico fixo (10 cm) e associa o polígono a um ângulo central de 30°, o que não corresponde a nenhum polígono regular de 3 lados. Não relaciona R com s nem com n.
Por que engana: Confundir a relação entre o lado do polígono e o raio do círculo circunscrito, utilizando a fórmula errada para calcular R.
O lado s é uma corda que subtende um ângulo central de 2p/n; pela relação corda = 2R·sin(?/2) com ?=2p/n obtém-se s=2R·sin(p/n), isolando R.
Associa o triângulo ao ângulo central de 90°, que é o do quadrado (n = 4), e considera R como constante (2,5 cm). Não entende que a fórmula deve depender de s e n.
Usa o ângulo central de 45°, que é o do octógono (n = 8), e considera R como valor fixo de 7 cm. Não percebe que o ângulo central deve ser calculado como 360°/n e que R depende de s.
Raio-X da questão
raio de círculo circunscrito
avaliacao
propriedades de polígonos regulares · seno e ângulos
Revisar a relação entre lados e raio em polígonos regulares.
Confundir a relação entre o lado do polígono e o raio do círculo circunscrito, utilizando a fórmula errada para calcular R.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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