Em uma oficina de maquetes, será construído um prisma reto para representar um módulo de cobertura triangular…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma oficina de maquetes, será construído um prisma reto para representar um módulo de cobertura triangular. A base do prisma é o triângulo isósceles ABC, com AB = 14 cm e AC = BC = 25 cm. A face superior é o triângulo A'B'C', correspondente à base, e a distância entre os planos das duas bases é 40 cm. Deseja-se instalar uma haste reta ligando o vértice A da base ao vértice C' da face superior, conforme a representação geométrica do prisma. Considerando as informações do texto, qual é o comprimento, em centímetros, da haste que liga A a C'?
- A) 5√89 cm
- B) √2421 cm
- C) √821 cm
- D) 65 cm
- E) 8√34 cm
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Na base ABC, trace a altura CM do vértice C até o ponto médio M de AB. Como o triângulo é isósceles, M é o ponto médio: AM = 14/2 = 7 cm. Pelo teorema de Pitágoras no triângulo CMA: CM^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576, logo CM = 24 cm.
- Monte um sistema de coordenadas com a base no plano horizontal. Coloque M na origem, com AB sobre o eixo x: A = (-7, 0, 0), B = (7, 0, 0) e C = (0, 24, 0). Como o prisma é reto, a face superior fica a 40 cm de altura, e C' = (0, 24, 40).
- Calcule a haste AC' pela distância entre dois pontos no espaço: AC'^2 = (0 - (-7))^2 + (24 - 0)^2 + (40 - 0)^2 = 49 + 576 + 1600 = 2225. Como 2225 = 25 x 89, temos AC' = raiz de 2225 = 5 raiz de 89 cm.
- Conclusão: a alternativa correta é A, 5√89 cm, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as demais estão erradas: B usa AB inteiro (14 cm) como componente extra, somando 14^2 indevidamente; C ignora a altura de 40 cm do prisma; D soma comprimentos lineares em vez de usar Pitágoras no espaço; E esquece a componente horizontal de 7 cm entre A e a projeção de C'.
💡 Dica: Calcule a diagonal usando o teorema de Pitágoras em 3 dimensões.
Alternativa por alternativa
Como o prisma é reto, a projeção da haste AC' sobre a base é o segmento AC, que mede 25 cm, e a distância perpendicular entre as bases mede 40 cm. Assim, pelo teorema de Pitágoras, AC'² = AC² + 40² = 25² + 40² = 625 + 1600 = 2225 = 25 · 89. Portanto, AC' = 5√89 cm.
O aluno usou o comprimento total AB = 14 cm como uma componente adicional da diagonal, em vez de usar apenas a metade (7 cm) até o ponto médio M. Ele somou 14^2 a 2225 e obteve 2421.
O aluno calculou a diagonal como se fosse um triângulo com catetos 25 e 14, ignorando a altura de 40 cm do prisma. Assim, ficou com 25^2 + 14^2 = 821.
O aluno somou os comprimentos AC = 25 cm e a altura 40 cm como se estivessem alinhados, obtendo 65 cm. Ele não percebeu que a haste é uma diagonal espacial e não uma soma de segmentos.
O aluno considerou que A estaria na mesma vertical de C e ignorou o deslocamento horizontal de 7 cm entre A e a projeção de C. Assim calculou 24^2 + 40^2 = 2176, que dá 8√34.
Raio-X da questão
diagonal de um prisma
avaliacao
teorema de pitágoras · propriedades de triângulos
Revisar o teorema de Pitágoras em três dimensões.
Confundir a diagonal espacial com a altura do prisma, calculando apenas a distância vertical entre as bases.
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