Um prisma reto tem altura H = 30 cm e base um triângulo isósceles cujos lados iguais medem 10 cm e a base mede…

Questão

Um prisma reto tem altura H = 30 cm e base um triângulo isósceles cujos lados iguais medem 10 cm e a base mede 16 cm. Um plano paralelo à base corta o prisma a uma distância x da face da base, formando um prisma menor acima do plano cujo volume é 1/8 do volume do prisma original. Determine x, justificando os passos com semelhança e relações de proporcionalidade.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Seja H = 30 cm e h' = H - x a altura do prisma menor (acima do plano). As seções paralelas à base são triângulos semelhantes à base, logo a razão linear entre triângulos é k = h'/H. A área da seção escala como k² e o volume do prisma menor é V_menor = área_base·k²·h' = V_total·(h'^3/H^3). Como V_menor = (1/8)V_total, tem-se (h'^3/H^3)=1/8. Logo (h'/H)=?(1/8)=1/2. Assim h' = H/2 = 15 cm e x = H - h' = 30 - 15 = 15 cm.

Explicação

A relação entre os volumes dos prismas é dada pela razão dos cubos das alturas, o que implica que a altura do prisma menor deve ser metade da altura do prisma original para que seu volume seja 1/8. Como a altura total do prisma é de 30 cm, a altura do prisma menor se torna 15 cm. Portanto, a distância x do plano à base do prisma é também 15 cm, pois x é igual à altura total menos a altura do prisma menor.

Raio-X da questão

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