Considere a sequência (a_n) definida por a_1 = 20 e, para todo n = 1, a_{n+1} = v(a_n² + 15²). Prove, por…

Questão

Considere a sequência (a_n) definida por a_1 = 20 e, para todo n = 1, a_{n+1} = v(a_n² + 15²). Prove, por indução, que para todo n = 1 vale a_n² = 400 + 225(n-1). Em seguida, calcule a_4 e interprete geometricamente o significado da relação recursiva.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Proposição: a_n² = 400 + 225(n-1) para todo n = 1. Base (n=1): a_1² = 20² = 400 = 400 + 225·0, OK. Passo indutivo: suponha verdadeira para n, isto é a_n² = 400 + 225(n-1). Então a_{n+1}² = (v(a_n² + 15²))² = a_n² + 225 = [400 + 225(n-1)] + 225 = 400 + 225n. Assim a_{n+1} satisfaz a fórmula; por indução a fórmula vale para todo n. Cálculo de a_4: a_4² = 400 + 225(4-1) = 400 + 675 = 1075, logo a_4 = v1075 = 5v43. Interpretação geométrica: cada termo a_{n+1} é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem a_n e 15; a relação recursiva aplica o teorema de Pitágoras sucessivamente.

Explicação

A demonstração por indução confirma que a fórmula proposta para a_n² se mantém verdadeira para todos os n, começando pela base e seguindo o passo indutivo. O cálculo de a_4 mostra como aplicar a fórmula para encontrar o valor específico do quarto termo da sequência. A interpretação geométrica relaciona a sequência com triângulos retângulos, evidenciando a conexão entre a relação recursiva e o teorema de Pitágoras.

Raio-X da questão

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