Um prisma reto tem altura H e base um triângulo equilátero de lado L. Um plano paralelo à base corta o prisma…

Questão

Um prisma reto tem altura H e base um triângulo equilátero de lado L. Um plano paralelo à base corta o prisma a uma distância h do vértice superior, formando um pequeno prisma na parte superior de altura h. (a) Expresse, em função de H e h, a razão entre os volumes do pequeno prisma e do prisma original. (b) Para H = 60 cm, h = 15 cm e L = 12 cm, calcule numericamente a razão e o volume do pequeno prisma.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Seja A área da base original. A seção paralela à base no plano corresponde a um triângulo equilátero similar com escala linear s = h/H (altura do pequeno prisma sobre a altura total). A área da base do pequeno prisma é A·s² e seu volume V_peq = A·s²·h = A·h³/H². Assim a razão volumes = V_peq / (A·H) = (A·h³/H²)/(A·H) = (h/H)³. Para H=60 e h=15, razão = (15/60)³ = (1/4)³ = 1/64. Com L=12, A = (v3/4)L² = (v3/4)·144 = 36v3 cm². Logo V_peq = A·h³/H² = 36v3·15³/60² = 36v3·3375/3600 = (135v3)/4 cm³ ˜ 58,66 cm³. Observação: o resultado confirma que V_peq = V_total/64, pois V_total = A·H = 36v3·60 = 2160v3 e 2160v3/64 = (135v3)/4.

Explicação

A razão entre os volumes do pequeno prisma e do prisma original é determinada pela relação entre as alturas, que se reflete na razão dos volumes devido à similaridade das seções transversais. A fórmula derivada considera que a área da base do pequeno prisma é proporcional ao quadrado da razão das alturas, resultando em uma razão cúbica. Os cálculos numéricos confirmam que o volume do pequeno prisma é um 64 avos do volume total, validando a relação encontrada.

Raio-X da questão

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