Uma empresa brasileira está desenvolvendo uma embalagem em formato de prisma reto triangular. Na base…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Questão
Uma empresa brasileira está desenvolvendo uma embalagem em formato de prisma reto triangular. Na base triangular ABC, o ângulo A é reto, AB mede 12 cm e AC mede 35 cm. A face superior é A'B'C', paralela e congruente à base, e os segmentos AA', BB' e CC' são perpendiculares às bases, cada um medindo 10 cm. Considere o segmento que liga o vértice B da base ao vértice C' da face superior. Com base nas medidas e na identificação dos vértices apresentadas, qual é o comprimento desse segmento espacial, em centímetros?
- A) Diagonal espacial = √1325 cm ≈ 36,40 cm.
- B) Diagonal espacial = 37 cm.
- C) Diagonal espacial = 57 cm.
- D) Diagonal espacial = √1469 cm ≈ 38,33 cm.
- E) Diagonal espacial = 47 cm.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Na base ABC, o ângulo A é reto, com catetos AB = 12 cm e AC = 35 cm. Pelo teorema de Pitágoras, a hipotenusa BC = raiz de (12^2 + 35^2) = raiz de (144 + 1225) = raiz de 1369 = 37 cm. Passo 2: Como o prisma é reto e a face superior A'B'C' é congruente à base, CC' é perpendicular à base e mede 10 cm. Logo, C' fica exatamente acima de C. Passo 3: O segmento BC' forma, com o segmento BC (contido na base) e com a aresta CC' (vertical), um triângulo retângulo em C. Passo 4: Aplicando Pitágoras nesse triângulo: BC'^2 = BC^2 + CC'^2 = 37^2 + 10^2 = 1369 + 100 = 1469. Portanto BC' = raiz de 1469 cm, aproximadamente 38,33 cm. Passo 5: Conclusão: a alternativa D está correta e coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A usa AC = 35 como projeção horizontal, quando a projeção correta de B até a vertical de C é BC = 37; B considera apenas a diagonal da base e esquece a altura de 10 cm; C soma as três medidas 12 + 35 + 10 em vez de aplicar Pitágoras; E soma BC = 37 com a altura 10 cm linearmente, o que não representa o comprimento de um segmento espacial.
💡 Dica: Calcule a diagonal usando o teorema de Pitágoras.
Alternativa por alternativa
O aluno toma o cateto AC = 35 como a projeção horizontal do segmento, quando a projeção correta é BC = 37, e então calcula raiz de (35^2 + 10^2) = raiz de 1325.
O aluno encontra corretamente a hipotenusa BC = 37 da base e para aí, esquecendo que o segmento BC' também possui componente vertical de 10 cm.
Por que engana: Confundir a diagonal espacial com a altura do prisma ou com a hipotenusa do triângulo da base.
O aluno soma as medidas 12 + 35 + 10 = 57, tratando o comprimento espacial como soma de arestas, o que é uma intuição do dia a dia e não uma propriedade geométrica.
Como o prisma é reto, o segmento BC' forma, com a projeção horizontal BC e a altura BB' = 10 cm, um triângulo retângulo. Primeiro, calcula-se a hipotenusa BC da base: BC² = AB² + AC² = 12² + 35² = 144 + 1225 = 1369, logo BC = 37 cm. Em seguida, BC'² = BC² + BB'² = 37² + 10² = 1369 + 100 = 1469. Portanto, BC' = √1469 cm ≈ 38,33 cm.
O aluno soma linearmente a hipotenusa da base (37) com a altura (10), obtendo 47, em vez de combinar os catetos pelo teorema de Pitágoras.
Raio-X da questão
diagonal de um prisma
avaliacao
teorema de pitágoras · volume de prismas
Revisar o cálculo da diagonal em prismas retos.
Confundir a diagonal espacial com a altura do prisma ou com a hipotenusa do triângulo da base.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
cientifico
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