No triângulo ABC, D ? AB e E ? AC com DE ? BC. Sabendo AD = 3, DB = 9 e AC = 20, determine AE.
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No triângulo ABC, D ? AB e E ? AC com DE ? BC. Sabendo AD = 3, DB = 9 e AC = 20, determine AE.
- A) AE = 5
- B) AE = 3
- C) AE = 10
- D) AE = 8
- E) AE = 15
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Como DE é paralela a BC, os triângulos ADE e ABC são semelhantes (ou vale o Teorema de Tales), logo AD/AB = AE/AC. Passo 2: Como D está entre A e B, AB = AD + DB = 3 + 9 = 12. Passo 3: A razão de semelhança é AD/AB = 3/12 = 1/4. Passo 4: Então AE = AC/4 = 20/4 = 5. Passo 5: A resposta é AE = 5, alternativa A, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: a B confunde AE com AD, que é um dado do enunciado; a C supõe que DE divide o lado ao meio, o que só valeria se AD = DB; a D subtrai AB de AC, misturando segmentos de lados diferentes; a E inverte a razão e calcula AC·DB/AB, usando o segmento do lado de B no lugar do segmento de A.
💡 Dica: Use o teorema de Tales para relacionar os segmentos correspondentes.
Alternativa por alternativa
Por semelhança, AD/AB = AE/AC. Como AB = AD+DB = 12, AE = (3/12)·20 = 5.
Supõe que AE tem o mesmo comprimento de AD, copiando um dado do enunciado sem usar a proporção entre os lados paralelos.
Acredita que a paralela divide o lado AC ao meio, dando AE = AC/2, quando a divisão depende da razão AD/AB, que é 1/4.
Por que engana: O erro mais provável é usar apenas AD e DB sem considerar que AB = AD + DB, ou montar a proporção invertendo os segmentos correspondentes.
Calcula AC − AB = 20 − 12 = 8, misturando segmentos de lados diferentes em vez de aplicar a proporção de semelhança.
Inverte a razão da proporção e calcula AC·DB/AB = 20·9/12 = 15, usando DB/AB no lugar de AD/AB.
Raio-X da questão
Teorema de Tales em triângulos
avaliacao
Proporcionalidade entre segmentos · Soma de segmentos colineares
Revise a proporcionalidade entre segmentos determinados por retas paralelas e a soma de segmentos colineares.
O erro mais provável é usar apenas AD e DB sem considerar que AB = AD + DB, ou montar a proporção invertendo os segmentos correspondentes.
tomada_decisao
abstrato
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