Em um triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C, traça-se a altura CD sobre a hipotenusa AB. Prove que AD =…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C, traça-se a altura CD sobre a hipotenusa AB. Prove que AD = AC²/AB, BD = BC²/AB e que CD² = AD·BD.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
Considere os triângulos ABC, ACD e CBD. Triângulo ACD é semelhante a ABC (ângulos A comuns e ângulo reto em C) e triângulo CBD é semelhante a ABC (ângulos B comuns). Pela semelhança ACD~ABC tem AC/AB = AD/AC ? AD = AC²/AB. Analogamente, CBD~ABC dá BC/AB = BD/BC ? BD = BC²/AB. Para CD², use semelhança entre ACD e CBD: CD/AD = BD/CD ? CD² = AD·BD. Assim as três relações são obtidas por semelhança de triângulos.
Explicação
A explicação se baseia na semelhança de triângulos, que permite estabelecer relações proporcionais entre os lados. Ao identificar os triângulos semelhantes, é possível derivar as fórmulas para AD, BD e CD² a partir das razões de semelhança. Essa abordagem é fundamental na geometria, pois simplifica a resolução de problemas envolvendo triângulos retângulos.
Raio-X da questão
triângulo retângulo e altura
avaliacao
propriedades do triângulo retângulo · teorema de Pitágoras
Revisar as propriedades dos triângulos retângulos e relações de semelhança.
O aluno pode confundir as relações entre os segmentos AD, BD e CD, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras sem considerar a altura do triângulo.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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