No triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C, tem-se AC = 24 e BC = 10. Seja CD a altura relativa à…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C, tem-se AC = 24 e BC = 10. Seja CD a altura relativa à hipotenusa AB e defina a sequência (h_n) por h_1 = CD e, para n = 1, h_{n+1} = v(h_n^2 + 7^2). (a) Calcule CD em forma fracionária. (b) Prove por indução que h_n^2 = CD^2 + 49(n-1) para todo n?N*. (c) Determine h_4 em forma simplificada.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
(a) Primeiro calcule AB: AB = v(AC^2+BC^2)=v(24^2+10^2)=v(576+100)=v676=26. A altura à hipotenusa satisfaz CD = (AC·BC)/AB = (24·10)/26 = 240/26 = 120/13. (b) Proposição: h_n^2 = CD^2 + 49(n-1). Base n=1: h_1^2 = CD^2 + 49(0) é verdadeiro por definição. Passo indutivo: suponha verdadeiro para n; então h_{n+1}^2 = h_n^2 + 49 (pela definição) = [CD^2 + 49(n-1)] + 49 = CD^2 + 49n, o que prova a propriedade para n+1. Assim vale para todo n. (c) Para n=4: h_4^2 = CD^2 + 49·3 = (120/13)^2 + 147 = 14400/169 + 147 = (14400 + 147·169)/169. Como 147·169 = 24843, tem h_4^2 = 39243/169, portanto h_4 = v39243 / 13.
Explicação
O cálculo da hipotenusa e da altura foi feito utilizando as fórmulas apropriadas para triângulos retângulos, garantindo a precisão dos valores. A prova por indução demonstra que a relação proposta se mantém verdadeira para todos os números naturais, estabelecendo uma base sólida para a sequência. Por fim, a simplificação de h_4 envolve a aplicação das propriedades de frações e raízes, resultando em uma forma exata e simplificada.
Raio-X da questão
altura em triângulo retângulo
avaliacao
teorema de pitágoras · propriedades de triângulos
Revisar propriedades de triângulos retângulos e indução matemática.
O aluno pode confundir a altura com a base do triângulo, utilizando valores incorretos na aplicação do teorema de Pitágoras.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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