Em um triângulo retângulo ABC com ângulo C = 90°, a altura CH é traçada até a hipotenusa AB, que fica dividida…

Questão

Em um triângulo retângulo ABC com ângulo C = 90°, a altura CH é traçada até a hipotenusa AB, que fica dividida em AH e HB. Sabe-se que AH:HB = 1:4 e AC = 10 m. Determine AB e BC. Justifique e apresente todos os passos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Seja AB = AH+HB. Como AH:HB = 1:4, AH = AB/5 e HB = 4AB/5. Na propriedade dos triângulos retângulos com altura à hipotenusa vale AC² = AB·AH. Substituindo: 10² = AB·(AB/5) ? 100 = AB²/5 ? AB² = 500 ? AB = v500 = 10v5 (m). Então AH = AB/5 = 2v5 (m) e HB = 8v5 (m). Para BC, use BC² = AB·HB ? BC² = (10v5)·(8v5) = 10·8·5 = 400 ? BC = 20 (m). Resultado: AB = 10v5 m e BC = 20 m, com justificativa baseada nas propriedades de semelhança e projeção da altura em triângulo retângulo.

Explicação

A solução utiliza a relação entre os segmentos da hipotenusa e a altura em triângulos retângulos, aplicando a fórmula AC² = AB·AH para encontrar o comprimento da hipotenusa. A proporção dada entre AH e HB permite expressar AH e HB em termos de AB, facilitando o cálculo. Por fim, a aplicação da mesma propriedade para determinar BC resulta em valores consistentes com as relações geométricas do triângulo.

Raio-X da questão

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