Em um triângulo ABC retângulo em C, AC = 12 m e BC = 16 m. Traça-se uma reta DE paralela a BC, com D em AB e E…

Questão

Em um triângulo ABC retângulo em C, AC = 12 m e BC = 16 m. Traça-se uma reta DE paralela a BC, com D em AB e E em AC, de modo que a área do triângulo ADE é igual a 1/4 da área do triângulo ABC. Determine AD e AE (em metros) e justifique os passos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Calcule a hipotenusa AB por Pitágoras: AB = v(AC²+BC²) = v(12²+16²) = v(144+256) = v400 = 20 m. 2) Como DE ? BC, os triângulos ADE e ABC são semelhantes; seja k = razão linear de semelhança (ADE para ABC). A razão entre as áreas é k². Como área(ADE)/área(ABC)=1/4, temos k²=1/4 ? k=1/2. 3) Da semelhança segue AD = k·AB = (1/2)·20 = 10 m e AE = k·AC = (1/2)·12 = 6 m. Portanto AD = 10 m e AE = 6 m, obtidos usando Pitágoras e a relação entre áreas e semelhança de triângulos quando uma reta é paralela ao lado.

Explicação

A solução utiliza o teorema de Pitágoras para determinar a hipotenusa do triângulo ABC, estabelecendo a relação entre as áreas dos triângulos semelhantes ADE e ABC. A razão de semelhança é encontrada a partir da relação das áreas, levando à dedução dos comprimentos AD e AE. Assim, a resposta é fundamentada na semelhança de triângulos e na propriedade das áreas, resultando nos valores corretos.

Raio-X da questão

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