Num triângulo ABC, a base BC mede 20 m e a altura relativa a BC é 12 m. Uma reta paralela a BC, a uma…

Questão

Num triângulo ABC, a base BC mede 20 m e a altura relativa a BC é 12 m. Uma reta paralela a BC, a uma distância x de A, corta os lados AB e AC formando o triângulo semelhante AEF cuja área é 36% da área de ABC. Determine x (altura de AEF) e a largura do trapézio entre a reta e BC. Apresente todos os passos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Área de AEF = k² · área(ABC), logo k² = 0,36 ? k = v0,36 = 0,6. A altura de AEF = k·(altura de ABC) = 0,6·12 = 7,2 m. A largura do trapézio entre a reta paralela e BC é a diferença entre as alturas: 12 - 7,2 = 4,8 m. (Derivação: reta paralela a BC gera triângulos semelhantes AEF e ABC com razão linear k = AE/AC = AF/AB, portanto áreas na razão k².)

Explicação

A relação entre as áreas dos triângulos semelhantes é dada pelo quadrado da razão entre suas alturas, o que permite calcular a altura do triângulo AEF a partir da área de ABC. A diferença entre a altura de ABC e a altura de AEF resulta na altura do trapézio formado entre a reta paralela e a base BC. Assim, a aplicação dessas relações leva aos valores corretos de altura e largura do trapézio.

Raio-X da questão

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