Em um triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C, os catetos medem AC = 9 m e BC = 12 m. Traça-se uma reta…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C, os catetos medem AC = 9 m e BC = 12 m. Traça-se uma reta paralela à hipotenusa AB que intercepta AC em D e BC em E, formando o triângulo menor ADE similar a ABC. Se a área de ADE é 25% da área de ABC, determine a distância entre as hipotenusas AB e DE (distância entre as retas), em metros.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
Área(ABC) = (9·12)/2 = 54 m². Como Área(ADE)/Área(ABC) = 0,25, a razão linear r satisfaz r² = 0,25 ? r = 0,5. Em semelhança, as alturas correspondentes (distâncias do vértice C às hipotenusas) também se reduzem por r. A hipotenusa de ABC tem comprimento v(9²+12²)=15 m. A altura de C sobre AB vale h = (produto dos catetos)/hipotenusa = (9·12)/15 = 108/15 = 7,2 m. A altura correspondente do triângulo menor vale r·h = 0,5·7,2 = 3,6 m. Portanto, a distância entre as hipotenusas AB e DE é h - r·h = (1-0,5)·7,2 = 3,6 m.
Explicação
A área do triângulo menor ADE é 25% da área do triângulo maior ABC, o que implica que a razão linear entre os triângulos é 0,5. Essa razão também se aplica às alturas correspondentes, permitindo calcular a altura do triângulo menor. A distância entre as hipotenusas é a diferença entre a altura do triângulo maior e a altura do triângulo menor, resultando em 3,6 m.
Raio-X da questão
triângulos semelhantes
avaliacao
propriedades de triângulos semelhantes · cálculo de áreas de triângulos
Revisar propriedades de triângulos semelhantes e cálculo de áreas.
O aluno pode confundir a relação entre as áreas dos triângulos e a proporção dos lados, não aplicando corretamente a semelhança.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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