Uma escada de 13,0 m encosta numa parede formando um triângulo retângulo com base x (distância do pé da escada…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma escada de 13,0 m encosta numa parede formando um triângulo retângulo com base x (distância do pé da escada à parede) e altura y (distância do topo ao chão). Ao afastar o pé da escada 3,0 m, o topo desliza 5,0 m para baixo. Modele o problema com equações e determine x e y (apresente valores exatos ou aproximações).
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
Seja x e y as posições iniciais do pé e do topo; como a escada mede 13 m: x² + y² = 13² = 169. Após mover: (x+3)² + (y-5)² = 169. Subtraindo as equações obtém-se 6x - 10y + 34 = 0 ? 3x - 5y +17 = 0, então x = (5y - 17)/3. Substituindo em x² + y² =169: ((5y-17)/3)² + y² = 169 ? (25y² - 170y + 289)/9 + y² =169 ? 34y² - 170y - 1232 = 0 ? 17y² - 85y - 616 = 0. Aplicando fórmula quadrática: y = [85 ± v(85² + 4·17·616)]/(34) = [85 ± v49113]/34. A solução positiva relevante é y = (85 + v49113)/34 ˜ 9,02 m. Então x = (5y - 17)/3 ˜ (5·9,02 - 17)/3 ˜ 9,37 m. Valores exatos podem ser deixados em termos de v49113. Verifique as duas soluções e rejeite a negativa fisicamente impossível.
Explicação
A solução utiliza o teorema de Pitágoras para estabelecer as relações entre as variáveis x e y, formando um sistema de equações. A manipulação algébrica e a aplicação da fórmula quadrática permitem encontrar os valores de y e, consequentemente, de x, garantindo que as soluções sejam fisicamente viáveis. A verificação das soluções assegura que apenas a solução positiva, que representa uma configuração realista do problema, é considerada.
Raio-X da questão
triângulo retângulo
avaliacao
teorema de pitágoras · equações lineares
Revisar o Teorema de Pitágoras e resolução de equações.
O aluno pode confundir as relações entre as variáveis, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras ou não considerando as mudanças nas distâncias corretamente.
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