Em um triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em C, seja CD a altura relativa à hipotenusa AB. Sabe-se que AD…

Questão

Em um triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em C, seja CD a altura relativa à hipotenusa AB. Sabe-se que AD = 3x - 2 cm, DB = x + 1 cm e CD = 6 cm. Determine o valor de x e, em seguida, as medidas dos catetos AC e BC (apresente cálculos).

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Propriedade da altura ao quadrado: CD² = AD·DB. Substituindo: 6² = (3x-2)(x+1). Assim 36 = 3x² + x -2 ? 3x² + x -38 = 0. Delta = 1² - 4·3·(-38) = 1 + 456 = 457. Então x = [-1 ± v457]/6. Considerando x>0, x = (-1 + v457)/6 ˜ 3,396. Calculam-se AD, DB e AB: AD = 3x-2 ˜ 8,1888 cm; DB = x+1 ˜ 4,3963 cm; AB = AD+DB = 4x-1 ˜ 12,5850 cm. Relações dos catetos: AC² = AD·AB e BC² = DB·AB. Logo AC = v[(3x-2)(4x-1)] ˜ v103,056 ˜ 10,152 cm; BC = v[(x+1)(4x-1)] ˜ v55,327 ˜ 7,436 cm. Resposta final: x = (-1 + v457)/6 ˜ 3,396; AC ˜ 10,152 cm; BC ˜ 7,436 cm.

Explicação

A solução utiliza a propriedade da altura em triângulos retângulos, que relaciona a altura à hipotenusa e os segmentos que ela divide. Ao resolver a equação quadrática resultante, encontra-se o valor de x, que é então utilizado para calcular os comprimentos dos segmentos AD e DB, além da hipotenusa AB. Finalmente, aplicando as relações entre os catetos e a hipotenusa, obtêm-se as medidas dos catetos AC e BC.

Raio-X da questão

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