No triângulo ABC com ângulo reto em A, AB = 15 m, AC = 20 m (logo BC = 25 m). Seja D ponto em AB com AD = 9 m…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No triângulo ABC com ângulo reto em A, AB = 15 m, AC = 20 m (logo BC = 25 m). Seja D ponto em AB com AD = 9 m e E ponto em AC tal que DE é paralelo a BC. Calcule o comprimento DE.
- A) DE = 5 m.
- B) DE = 10 m.
- C) DE = 15 m
- D) DE = 20 m.
- E) DE = 25 m.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Identifique a figura. O triângulo ABC é retângulo em A, com AB = 15 m, AC = 20 m e BC = 25 m. O ponto D está sobre AB com AD = 9 m, e E está sobre AC de modo que DE é paralelo a BC.
- Reconheça a semelhança. Como DE é paralelo a BC, o triângulo ADE é semelhante ao triângulo ABC (critério AA: o ângulo em A é comum e os ângulos ADE e ABC são correspondentes).
- Calcule a razão de semelhança. A razão entre os lados correspondentes é AD/AB = 9/15 = 3/5. Logo, DE/BC = 3/5.
- Calcule DE. DE = (3/5) x 25 = 15 m.
- Confira. AE = (3/5) x 20 = 12 m. Pelo teorema de Pitágoras no triângulo ADE, DE = raiz de (9^2 + 12^2) = raiz de (81 + 144) = raiz de 225 = 15 m. O resultado está correto.
- Análise das demais alternativas. A) 5 m está errada porque não resulta de nenhuma proporção válida com os dados. B) 10 m está errada porque supõe uma proporção de 2/5, que não corresponde a AD/AB. D) 20 m está errada porque é o comprimento de AC, e um segmento paralelo a BC dentro do triângulo não precisa ter o comprimento de um cateto. E) 25 m está errada porque é o comprimento de BC, mas DE é paralelo a BC e menor que ele, pois D não coincide com B.
- Conclusão: a alternativa correta é a C, DE = 15 m, o que coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Use a semelhança dos triângulos e a razão entre os lados correspondentes.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente subtraiu comprimentos dos lados (por exemplo, BC - AC = 5) em vez de aplicar a proporção dos lados correspondentes da semelhança.
O aluno provavelmente tomou E como ponto médio de AC e aplicou o teorema da base média, obtendo metade de BC, sem verificar que a razão correta é 3/5 e não 1/2.
Por que engana: O aluno pode comparar lados que não são correspondentes ou aplicar a razão de semelhança no sentido inverso, obtendo uma medida incompatível com o triângulo menor.
Como DE é paralelo a BC, os triângulos ADE e ABC têm lados correspondentes na mesma proporção. Assim, DE = 9/15 × 25 = 15 m.
O aluno provavelmente acreditou que, por DE ser paralelo a BC, DE teria o mesmo comprimento de um dos catetos, confundindo o segmento interno com o lado AC.
O aluno provavelmente considerou que todo segmento paralelo a BC teria o mesmo comprimento de BC, ignorando que D está em AB com AD = 9 m e não coincide com B.
Raio-X da questão
Semelhança de triângulos
avaliacao
Razões e proporções · Teorema de Pitágoras
Revise proporcionalidade entre lados de triângulos semelhantes.
O aluno pode comparar lados que não são correspondentes ou aplicar a razão de semelhança no sentido inverso, obtendo uma medida incompatível com o triângulo menor.
tomada_decisao
abstrato
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