(DISSERTATIVA) Em triângulo retângulo ABC com ?C = 90°, tem-se AC = 9 cm e BC = 12 cm (logo AB = 15 cm). Seja…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
(DISSERTATIVA) Em triângulo retângulo ABC com ?C = 90°, tem-se AC = 9 cm e BC = 12 cm (logo AB = 15 cm). Seja E um ponto em AC tal que AE = t cm. Traça-se a reta através de E paralela a BC, intersectando AB em D. Sabe-se que a distância DH entre D e H (H é o pé da altura de C sobre AB) é igual a 3 cm. Determine t e apresente todos os passos justificando por semelhança e propriedades da altura.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
Como AE = t, a razão de semelhança entre os triângulos ADE e ABC é k = AE/AC = t/9. Logo AD = k·AB = (t/9)·15 = 5t/3. 2) Em triângulo retângulo, AH = AC²/AB = 9²/15 = 81/15 = 27/5 cm. 3) A distância DH = AD - AH = 5t/3 - 27/5. Pelo enunciado DH = 3, então 5t/3 - 27/5 = 3. 4) Multiplicando por 15: 25t - 81 = 45 ? 25t = 126 ? t = 126/25 cm (ou 5,04 cm). 5) Conclusão: t = 126/25 cm. Todos os passos usam semelhança de triângulos para obter AD em função de t e a relação AH = AC²/AB proveniente da altura relativa à hipotenusa.
Explicação
A solução utiliza a semelhança de triângulos para relacionar os segmentos AD e AE, permitindo expressar AD em função de t. A aplicação da fórmula da altura em triângulos retângulos fornece o valor de AH, que é essencial para determinar a distância DH. Por fim, a equação resultante é resolvida para encontrar o valor de t, garantindo a consistência com as propriedades geométricas do triângulo.
Raio-X da questão
semelhança de triângulos
avaliacao
semelhança de triângulos · propriedades de triângulos
Revisar as propriedades de semelhança e altura em triângulos retângulos.
O aluno pode confundir a relação entre os segmentos criados pela altura e a semelhança dos triângulos, levando a um valor incorreto para t.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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