No triângulo retângulo ABC com ?C = 90°, traça-se a altura CH até a hipotenusa AB. Sabe-se AC = 12 cm e a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No triângulo retângulo ABC com ?C = 90°, traça-se a altura CH até a hipotenusa AB. Sabe-se AC = 12 cm e a projeção AH = 4 cm sobre AB. Calcule AB e CH.
- A) CH = 10 cm
- B) AB = 28 cm
- C) CH = 12 cm
- D) AB = 40 cm
- E) AB = AC²/AH = 144/4 = 36 cm; HB = 32 cm, então CH = v(AH·HB) = v(4·32) = 8v2 cm.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Identifique os dados. O triângulo ABC é retângulo em C, então AB é a hipotenusa. A altura CH divide AB em dois segmentos: AH = 4 cm (projeção de AC) e HB, que ainda não é conhecido. Dados: AC = 12 cm e AH = 4 cm.
- Use a relação métrica do cateto. Em triângulo retângulo, o quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre ela: AC^2 = AH · AB. Logo, 12^2 = 4 · AB, ou seja, 144 = 4 · AB, e AB = 36 cm.
- Calcule HB. Como AB = AH + HB, temos HB = 36 - 4 = 32 cm.
- Calcule CH. A altura é média geométrica das projeções: CH^2 = AH · HB = 4 · 32 = 128. Logo CH = raiz de 128 = raiz de (64 · 2) = 8 · raiz de 2 cm, aproximadamente 11,3 cm.
- Conclusão. A alternativa E traz exatamente AB = 36 cm, HB = 32 cm e CH = 8 raiz de 2 cm, que são os valores corretos. O gabarito oficial E está correto. A redação da alternativa E é longa e contém a resolução, o que não é o usual, mas os valores estão certos.
- Por que as outras estão erradas: A) CH = 10 cm não corresponde a nenhuma relação métrica do triângulo com os dados. B) AB = 28 cm não satisfaz AC^2 = AH · AB, pois daria 4 · 28 = 112, diferente de 144. C) CH = 12 cm é igual ao cateto AC, mas a altura não coincide com um cateto. D) AB = 40 cm não satisfaz AC^2 = AH · AB, pois daria 4 · 40 = 160, diferente de 144.
💡 Dica: Utilize o teorema de Pitágoras para encontrar AB e CH.
Alternativa por alternativa
Provavelmente calculou CH como uma diferença simples entre medidas (como AC - AH = 8 ou outro atalho), sem usar a relação métrica CH^2 = AH · HB.
Provavelmente somou medidas sem usar a relação AC^2 = AH · AB, tratando AB como soma de AC com outro segmento, o que não corresponde à hipotenusa.
Por que engana: Confundir a relação entre os lados do triângulo retângulo e aplicar incorretamente o teorema de Pitágoras.
Acredita que a altura relativa à hipotenusa tem a mesma medida de um cateto (AC = 12 cm), confundindo altura com cateto.
Somou a projeção AH = 4 cm ao valor de AB já obtido (36 cm), como se AH estivesse fora da hipotenusa, em vez de ser parte dela.
Relações métricas: AC² = AB·AH ? AB = 144/4 = 36. Como CH² = AH·HB e HB = 32, CH = v128 = 8v2 cm.
Raio-X da questão
triângulo retângulo
avaliacao
teorema de pitágoras · propriedades do triângulo retângulo
Revisar as propriedades dos triângulos retângulos e o teorema de Pitágoras.
Confundir a relação entre os lados do triângulo retângulo e aplicar incorretamente o teorema de Pitágoras.
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cientifico
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