No triângulo retângulo ABC com ?C = 90°, seja H a projeção de C sobre a hipotenusa AB. (a) Demonstre por…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No triângulo retângulo ABC com ?C = 90°, seja H a projeção de C sobre a hipotenusa AB. (a) Demonstre por semelhança que AH = AC²/AB, BH = BC²/AB e CH² = AH·HB. (b) A partir dessas relações, deduza o Teorema de Pitágoras AB² = AC² + BC². (c) Calcule AB, AH, HB e CH quando AC = 12 cm e BC = 5 cm.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
(a) Considere triângulos ABC, ACH e BCH. Pelo ângulo reto em C e ângulos correspondentes, tem-se semelhança: ?ACH ~ ?ABC ? AC/AB = AH/AC ? AH = AC²/AB. Analogamente ?BCH ~ ?ABC ? BC/AB = BH/BC ? BH = BC²/AB. A altura CH = (AC·BC)/AB, logo CH² = (AC²·BC²)/AB² = (AC²/AB)·(BC²/AB) = AH·BH. (b) Soma AH+BH = (AC²+BC²)/AB, mas AH+BH = AB, portanto AB = (AC²+BC²)/AB ? AB² = AC²+BC² (Teorema de Pitágoras). (c) Com AC=12, BC=5: AB = v(12²+5²)=v(144+25)=v169=13 cm. AH = AC²/AB = 144/13 cm. BH = BC²/AB = 25/13 cm. CH = (AC·BC)/AB = 60/13 cm.
Explicação
A demonstração utiliza a semelhança de triângulos para estabelecer relações entre os segmentos, permitindo derivar as fórmulas solicitadas. A dedução do Teorema de Pitágoras é feita a partir da soma das projeções, mostrando que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Os cálculos finais aplicam essas relações para encontrar os valores dos segmentos dados os catetos.
Raio-X da questão
semelhança de triângulos
avaliacao
semelhança de triângulos · teorema de Pitágoras
Revisar as propriedades de triângulos retângulos e semelhança.
O aluno pode confundir as relações de semelhança e aplicar incorretamente as fórmulas, resultando em valores errados para AB, AH, HB e CH.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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