Em ?ABC com ?C = 90°, pontos D em AB e E em AC são tais que DE ? BC. Sabendo AD = 5 cm e DB = 15 cm e EC = 12…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em ?ABC com ?C = 90°, pontos D em AB e E em AC são tais que DE ? BC. Sabendo AD = 5 cm e DB = 15 cm e EC = 12 cm, calcule AE.
- A) AE = 12 cm
- B) AE = 4 cm
- C) AE = 5 cm
- D) AE = 3 cm
- E) AE = 16 cm
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Identifique a figura. O triângulo ABC é retângulo em C, D está sobre AB e E está sobre AC, com DE paralelo a BC. Como DE é paralelo a BC, o triângulo ADE é semelhante ao triângulo ABC pelo teorema de Tales (ou pelo caso AA).
- Calcule AB. AB = AD + DB = 5 + 15 = 20 cm.
- Escreva a proporção de Tales. AD/AB = AE/AC, ou seja, 5/20 = AE/AC. Logo AC = 4 × AE.
- Use o segmento EC. Como E está entre A e C, AC = AE + EC = AE + 12. Substituindo, 4 × AE = AE + 12, então 3 × AE = 12 e AE = 4 cm.
- Verifique. AC = 4 + 12 = 16 cm e AE/AC = 4/16 = 1/4 = AD/AB = 5/20. A conta confere.
- Compare com o gabarito. A resposta correta é AE = 4 cm, alternativa B, o que coincide com o gabarito oficial. A alternativa A está errada porque 12 cm é o valor de EC, não de AE. A alternativa C está errada porque 5 cm é o valor de AD, que não entra diretamente nessa relação com AE. A alternativa D está errada porque 3 cm resulta de um uso incorreto da proporção. A alternativa E está errada porque 16 cm é o comprimento de AC, o lado inteiro, e não o segmento AE.
💡 Dica: Utilize o Teorema de Pitágoras para resolver a questão.
Alternativa por alternativa
O aluno tomou o valor dado EC = 12 cm como sendo AE, sem perceber que o segmento pedido é o que vai do vértice A até E, e não o que vai de E até C.
Por que engana: O aluno pode confundir as relações de proporcionalidade entre os segmentos, aplicando a soma dos lados de forma incorreta.
Semelhança entre ?ADE e ?ABC: AD/AB = AE/AC. AB = 20, AC = AE+12. Assim 5/20 = AE/(AE+12) ? 1/4 = AE/(AE+12) ? AE = 4 cm.
O aluno copiou um dado do enunciado (AD = 5 cm) como resposta, achando que AE deve ser igual a AD por a figura parecer simétrica, sem montar a proporção de Tales.
O aluno montou a proporção com o denominador errado, usando AB = 20 em vez de DB = 15 na razão, e calculou AE = EC × AD/AB = 12 × 5/20 = 3 cm. A proporção correta usa AD/DB ou AD/AB no lugar certo, com AC como total.
O aluno confundiu o segmento AE com o lado inteiro AC, achando que o ponto E coincide com o vértice C ou que AE deve ser o lado completo, e somou 4 + 12 = 16 cm.
Raio-X da questão
triângulos retângulos
avaliacao
propriedades dos triângulos · semelhança de triângulos
Revisar o Teorema de Pitágoras e suas aplicações em triângulos retângulos.
O aluno pode confundir as relações de proporcionalidade entre os segmentos, aplicando a soma dos lados de forma incorreta.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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