Demonstre o Teorema de Pitágoras usando a semelhança de triângulos gerada pela altura do vértice do ângulo…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Demonstre o Teorema de Pitágoras usando a semelhança de triângulos gerada pela altura do vértice do ângulo reto até a hipotenusa: em ?ABC com ?C = 90°, altura CH em H. Prove que AB² = AC² + BC².
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
Considere ?ABC retângulo em C e a altura CH sobre a hipotenusa AB, encontrando H. Os triângulos ?ACH, ?BCH e ?ABC são semelhantes: ?ACH ~ ?ABC e ?BCH ~ ?ABC (ângulos correspondentes). Pela semelhança ?ACH ~ ?ABC segue AC² = AB·AH. Pela semelhança ?BCH ~ ?ABC segue BC² = AB·BH. Somando as duas igualdades: AC² + BC² = AB·AH + AB·BH = AB·(AH + BH). Como AH + BH = AB, obtemos AC² + BC² = AB·AB = AB², o que prova o Teorema de Pitágoras.
Explicação
A explicação utiliza a semelhança de triângulos para estabelecer relações entre os lados dos triângulos formados, permitindo derivar as equações necessárias. A soma das áreas obtidas a partir das semelhanças leva à conclusão de que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Essa abordagem geométrica é uma demonstração clara e concisa do Teorema de Pitágoras.
Raio-X da questão
Teorema de Pitágoras
avaliacao
semelhança de triângulos · propriedades do triângulo retângulo
Revisar as propriedades de semelhança de triângulos e o Teorema de Pitágoras.
O aluno pode confundir a relação entre os lados dos triângulos semelhantes, aplicando a fórmula errada para a soma dos quadrados.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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