Considere o retângulo ABCD com AB = 12 cm e AD = 5 cm. Seja E um ponto em AC tal que a reta por E paralela a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Considere o retângulo ABCD com AB = 12 cm e AD = 5 cm. Seja E um ponto em AC tal que a reta por E paralela a AD corta AB em F. Se EF = 3 cm, determine AF e AE, justificando por semelhança de triângulos e pelo teorema de Pitágoras.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
Coloque A=(0,0), B=(12,0), D=(0,5) e C=(12,5). Então AC é a diagonal com comprimento AC = v(12²+5²) = 13 cm. Seja t o parâmetro tal que E = A + t·(C-A) = (12t,5t) com 0<t<1. A reta por E paralela a AD é vertical x = 12t e intersecta AB (y=0) em F = (12t,0). Assim EF = distância vertical = 5t. Como EF = 3, tem 5t = 3 ? t = 3/5. Logo AF = 12t = 12·(3/5) = 36/5 cm = 7,2 cm. E AE = t·AC = (3/5)·13 = 39/5 cm = 7,8 cm. A justificativa usa semelhança: triângulos AEF e A C A são proporcionais pelos lados paralelos, e o teorema de Pitágoras dá AC = 13 cm para determinar AE.
Explicação
A solução utiliza coordenadas para facilitar a análise geométrica, permitindo calcular a posição do ponto E e a interseção F de forma clara. A semelhança entre os triângulos AEF e ACD é aplicada para relacionar as medidas AF e AE, enquanto o teorema de Pitágoras é utilizado para determinar o comprimento da diagonal AC. Assim, a resposta é fundamentada em conceitos de geometria e relações proporcionais, levando aos valores corretos.
Raio-X da questão
semelhança de triângulos
avaliacao
semelhança de triângulos · teorema de Pitágoras
Revisar semelhança de triângulos e teorema de Pitágoras.
O aluno pode confundir as proporções dos triângulos semelhantes, aplicando a relação incorretamente e obtendo valores errados para AF e AE.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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