Em ?ABC com ?C = 90°, traça-se a altura CH até a hipotenusa AB, encontrando H. Usando semelhança entre os…

Questão

Em ?ABC com ?C = 90°, traça-se a altura CH até a hipotenusa AB, encontrando H. Usando semelhança entre os triângulos formados, prove que AB² = AC² + BC².

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Os triângulos ACH, BCH e ABC são semelhantes. Da semelhança ?ACH ~ ?ABC vem AC/AB = AH/AC ? AC² = AB·AH. De ?BCH ~ ?ABC vem BC/AB = BH/BC ? BC² = AB·BH. Somando: AC²+BC² = AB·(AH+BH) = AB·AB = AB², como queríamos.

Explicação

A semelhança dos triângulos permite estabelecer relações proporcionais entre os lados, que são fundamentais para derivar as equações necessárias. Ao somar as expressões obtidas para AC² e BC², é possível demonstrar que a soma é igual ao quadrado da hipotenusa AB. Essa relação é uma aplicação direta do Teorema de Pitágoras, que é válido para triângulos retângulos.

Raio-X da questão

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