Num polígono regular inscrito em uma circunferência, existe um ângulo inscrito que intercepta um arco…

Questão

Num polígono regular inscrito em uma circunferência, existe um ângulo inscrito que intercepta um arco correspondente a k lados e mede 20°. Determine todos os valores possíveis de n menores que 30, justificando.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Se um ângulo inscrito mede 20° e intercepta k lados, usa-se 180k/n = 20. Multiplicando: 180k = 20n ? 9k = n. Assim n é múltiplo de 9: n = 9k. Como n < 30 e k = 1 inteiro, os possíveis k são 1,2,3, que produzem n = 9, 18, 27. Verifica-se que para cada n obtido existe k correspondente e 1 = k = ?n/2?, portanto as soluções são n = 9, 18 e 27.

Explicação

A relação entre o ângulo inscrito e o número de lados do polígono é dada pela fórmula 180k/n, onde k é o número de lados interceptados. Ao resolver a equação para n, encontramos que n deve ser um múltiplo de 9, resultando em valores que satisfazem a condição de serem menores que 30. Assim, os valores possíveis de n são 9, 18 e 27, que correspondem a k variando de 1 a 3.

Raio-X da questão

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