(Dificuldade 2 - Dissertativa) Em uma circunferência de centro O, os pontos A, B e C aparecem nessa ordem no…

Questão

(Dificuldade 2 - Dissertativa) Em uma circunferência de centro O, os pontos A, B e C aparecem nessa ordem no sentido horário. Os ângulos centrais são m(?AOB) = 2x + 10° e m(?BOC) = 3x - 20°. Seja P um ponto do arco menor AC (diferente de A e C) tal que o ângulo inscrito ?APC mede 50°. Determine o valor de x, as medidas dos ângulos centrais ?AOB e ?BOC, a medida do arco AC e a medida do ângulo inscrito ?ADC para qualquer ponto D no arco menor AC.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Passo 1: o ângulo inscrito ?APC intercepta o arco AC; logo m(arc AC) = 2·m(?APC) = 100°.\nPasso 2: arc AC = m(?AOB)+m(?BOC) = (2x+10)+(3x-20) = 5x-10. Igualando: 5x-10 = 100 ? 5x = 110 ? x = 22.\nPasso 3: calcular os centrais: m(?AOB) = 2x+10 = 2·22+10 = 54°. m(?BOC) = 3x-20 = 66-20 = 46°. Verificação: 54°+46° = 100° = arc AC.\nPasso 4: medidas dos arcos: arc AC = 100° (já obtido). Os outros arcos (por exemplo arc CA complementar) somam 260°; se necessário, pode-se calcular arcos individuais com mais dados.\nPasso 5: para qualquer ponto D no arco menor AC, o ângulo inscrito ?ADC intercepta o arco AC, então m(?ADC) = 1/2·m(arc AC) = 50°.\nConclusões: x = 22; m(?AOB)=54°; m(?BOC)=46°; m(arc AC)=100°; m(?ADC)=50°.

Explicação

A solução utiliza propriedades dos ângulos inscritos e centrais, estabelecendo relações entre eles para determinar o valor de x e as medidas dos ângulos e arcos. A verificação da soma dos ângulos centrais confirma a consistência dos cálculos. Além disso, a relação entre o ângulo inscrito e o arco correspondente é aplicada corretamente para encontrar a medida do ângulo inscrito em qualquer ponto do arco.

Raio-X da questão

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