Um cone circular reto tem raio da base r = 6 cm e altura h = 8 cm. Considere a vista lateral obtida por seção…

Questão

Um cone circular reto tem raio da base r = 6 cm e altura h = 8 cm. Considere a vista lateral obtida por seção vertical que contém o eixo (triângulo isósceles com base igual ao diâmetro da base). a) Calcule e justifique a medida do ângulo no vértice desse triângulo (ângulo entre as duas geratrizes na vista lateral). b) Calcule e justifique a medida do ângulo formado entre uma geratriz e o plano da base do cone. Apresente todas as etapas.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Modelo de resolução: 1) Vista lateral: triângulo isósceles com base = diâmetro = 2r = 12 cm e altura = h = 8 cm. Metade da base vale 6 cm. Considere metade do triângulo isósceles: catetos 6 (metade da base) e 8 (altura) e ângulo no vértice dividido ao meio, chamado a/2. Temos tan(a/2) = (metade da base)/(altura) = 6/8 = 3/4. Logo a/2 = arctan(3/4) ˜ 36,87°, portanto o ângulo total no vértice vale a ˜ 2·36,87° ˜ 73,74°. 2) Geratriz: comprimento s = v(r² + h²) = v(36 + 64) = v100 = 10 cm. O ângulo ? entre a geratriz e o plano da base corresponde ao ângulo entre a geratriz e sua projeção horizontal (raio r). No triângulo retângulo formado por r (adjacente), h (oposto) e s (hipotenusa), temos tan ? = h/r = 8/6 = 4/3 ou alternativamente sen ? = h/s = 8/10 = 0,8. Assim ? = arctan(4/3) ˜ 53,13° (ou ? = arcsin 0,8 ˜ 53,13°). Resultados finais: ângulo entre as geratrizes na vista lateral ˜ 73,74°; ângulo entre uma geratriz e o plano da base ˜ 53,13°. Justificou-se usando semelhança/triângulos retângulos e funções trigonométricas.

Explicação

A medida do ângulo no vértice do triângulo isósceles é obtida através da relação entre os catetos e a altura, utilizando a tangente para encontrar o ângulo a/2 e, em seguida, dobrando esse valor. Para o ângulo entre a geratriz e o plano da base, a relação entre a altura, o raio e a geratriz permite usar a tangente ou o seno para calcular o ângulo desejado. Ambas as etapas utilizam propriedades de triângulos retângulos e funções trigonométricas, garantindo precisão nos resultados.

Raio-X da questão

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