No plano cartesiano, considere a circunferência x²+y²=169 (centro O(0,0), raio 13). As retas r: y=5 e s: y=-5…

Questão

No plano cartesiano, considere a circunferência x²+y²=169 (centro O(0,0), raio 13). As retas r: y=5 e s: y=-5 (r // s) intersectam a circunferência nos pontos A,B (em r) e C,D (em s), com A no 1º quadrante. a) Determine as coordenadas de A,B,C,D. b) Calcule as medidas dos arcos AC e BD e explique por que são congruentes. c) Calcule a distância AC e relacione-a com o ângulo central subtendido pelo arco AC.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) Substitua y=±5 em x²+y²=169 ? x²+25=169 ? x²=144 ? x=±12. Assim A(12,5), B(-12,5), C(12,-5), D(-12,-5). b) O ângulo polar de A é arctan(5/12); o de C é -arctan(5/12); ângulo central ?=2·arctan(5/12)=2·arcsin(5/13) ˜45,2397°, logo m(arc AC)=m(arc BD)=?. São congruentes porque cordas paralelas interceptam arcos congruentes. c) Distância AC = |5-(-5)|=10 (mesmo x), e pela fórmula da corda: AC = 2R·sin(?/2)=2·13·(5/13)=10, confirmando a relação entre comprimento e ângulo central.

Explicação

A substituição das equações das retas na equação da circunferência permite encontrar os pontos de interseção, que são as coordenadas de A, B, C e D. A congruência dos arcos AC e BD se deve ao fato de que as cordas correspondentes são paralelas e subtendem o mesmo ângulo central. A relação entre a distância AC e o ângulo central é confirmada pela fórmula da corda, que demonstra que o comprimento da corda é proporcional ao seno do ângulo central.

Raio-X da questão

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