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Questão

Considere as retas r ? s cortadas pela transversal t: em r, o ângulo formado com t mede 3x + 10°; em s, o ângulo correspondente mede 2x + 40°. Além disso, em um círculo de centro O, o arco PQ mede 120°. Seja C um ponto que pertence à mediatriz do segmento PQ e também à circunferência. a) Determine x. b) Calcule a medida do ângulo inscrito que intercepta o arco PQ. c) Explique por que qualquer ponto da mediatriz de PQ é equidistante de P e Q e o que implica C pertencer simultaneamente à mediatriz e à circunferência.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) Em retas paralelas, ângulos correspondentes são iguais: 3x+10=2x+40 ? x=30. b) O ângulo inscrito que intercepta um arco mede metade do arco: (1/2)·120°=60°. c) A mediatriz de PQ é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de P e Q, logo para qualquer ponto M na mediatriz vale MP=MQ; assim CP=CQ. Como P e Q estão na circunferência, PQ é uma corda; a mediatriz dessa corda passa pelo centro O e intersecta a circunferência em pontos que têm mesma distância a P e Q. Portanto, C sendo simultaneamente ponto da mediatriz e da circunferência é uma interseção entre essa mediatriz (perpendicular bissetriz da corda) e a circunferência, garantindo CP=CQ e que C está sobre os pontos que dividem simetricamente os arcos determinados por P e Q.

Explicação

A solução utiliza propriedades de ângulos correspondentes em retas paralelas para encontrar o valor de x, aplicando a relação de igualdade. O cálculo do ângulo inscrito é fundamentado na regra de que ele mede metade do arco correspondente. A mediatriz, por definição, garante que qualquer ponto nela é equidistante dos extremos do segmento, e a interseção com a circunferência assegura que essa distância é mantida, confirmando a simetria em relação aos pontos P e Q.

Raio-X da questão

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