No círculo de centro O=(0,0) e raio 10 cm, considere A(-10,0) e B(10,0). Seja C um ponto da circunferência tal…

Questão

No círculo de centro O=(0,0) e raio 10 cm, considere A(-10,0) e B(10,0). Seja C um ponto da circunferência tal que o arco menor AC mede 120°. D é o ponto médio desse arco menor. a) Descreva a construção, com régua e compasso, da mediatriz de CD e da bissetriz de ?COB. b) Calcule as coordenadas de C e D, as equações da mediatriz de CD e da bissetriz de ?COB e as medidas dos arcos AC e CD e dos ângulos centrais ?AOB e ?COB.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Posicionamento angular: tomando o eixo positivo x passando por B (0°) e por A (180°), como o arco menor AC = 120°, temos ângulo central de A = 180° e de C = 180° - 120° = 60°. O ponto médio do arco menor AC tem ângulo (180°+60°)/2 = 120° (ponto D). 2) Coordenadas (usar r=10): C = (10 cos60°, 10 sin60°) = (5, 5v3). D = (10 cos120°, 10 sin120°) = (-5, 5v3). 3) Equação do segmento CD: as ordenadas de C e D são iguais (5v3), então CD é a reta y = 5v3. O ponto médio M_CD = ((5+(-5))/2, (5v3+5v3)/2) = (0, 5v3). Mediatriz de CD: reta perpendicular a CD passando por M_CD. Como CD é horizontal, a mediatriz é a reta vertical x = 0. 4) Bissetriz de ?COB: OC tem direção 60°, OB direção 0°, então a bissetriz tem direção 30° passando por O. Equação paramétrica: (x,y) = t(cos30°, sin30°). Forma cartesiana: y = (tan30°) x = (1/v3) x = (v3/3) x. 5) Medidas dos arcos e ângulos centrais: Arco AC = 120° (dado). Arco CD = |120° - 60°| = 60°. ?AOB é o ângulo central entre A(180°) e B(0°): 180°. ?COB é a diferença entre 60° e 0°: 60°. 6) Construção com régua e compasso — passos resumidos: - Mediatriz de CD: com centro em C e D desenhe arcos de mesmo raio > CD/2; marque as interseções e una-as; essa reta é a mediatriz. - Bissetriz de ?COB: com centro em O marque arcos iguais cortando OC e OB; com centros nesses cortes faça dois arcos iguais; una as interseções desses arcos ao vértice O; essa semirreta é a bissetriz. Resultados resumidos: C(5,5v3), D(-5,5v3); mediatriz de CD: x=0; bissetriz de ?COB: y=(1/v3)x; arcos: AC=120°, CD=60°; ângulos centrais: ?AOB=180°, ?COB=60°.

Explicação

A solução apresenta uma análise clara da geometria do problema, utilizando conceitos de ângulos centrais e coordenadas para determinar os pontos C e D. A construção das mediatrizes e bissetrizes é descrita de forma precisa, permitindo a reprodução do processo com régua e compasso. Além disso, os cálculos dos arcos e ângulos centrais são realizados de maneira lógica e fundamentada, garantindo a consistência dos resultados.

Raio-X da questão

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