Uma equipe de desenvolvimento está criando um aplicativo para escolas públicas. Para uma versão de teste, o…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma equipe de desenvolvimento está criando um aplicativo para escolas públicas. Para uma versão de teste, o programa possui 8 módulos independentes, como cadastro, agenda, biblioteca, frequência, comunicados, avaliações, transporte e alimentação. A equipe precisa selecionar exatamente 3 módulos para compor cada versão de teste. Como a ordem dos módulos não altera a versão, seleções com os mesmos módulos são consideradas iguais. Com base no texto, quantas diferentes combinações de 3 módulos podem ser formadas para as versões de teste?
- A) 8 combinações
- B) 70 combinações
- C) 56 combinações
- D) 24 combinações
- E) 336 combinações
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Identifique o tipo de contagem. Temos 8 módulos e queremos escolher exatamente 3, e o enunciado diz que a ordem não importa (seleções com os mesmos módulos são iguais). Isso é uma combinação simples de 8 elementos tomados 3 a 3.
- Aplique a fórmula de combinação: C(8,3) = 8! / (3! * (8-3)!) = 8! / (3! * 5!).
- Simplifique. 8! / 5! = 8 x 7 x 6 = 336. Dividindo por 3! = 6, obtemos 336 / 6 = 56.
- Conferindo por outro caminho, escolher 3 módulos em ordem daria 8 x 7 x 6 = 336 sequências; cada conjunto de 3 módulos aparece 3! = 6 vezes nessas sequências, então 336 / 6 = 56 conjuntos distintos.
- Resultado: 56 combinações, alternativa C, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: A) 8 é o número total de módulos, não de combinações de 3; B) 70 corresponde a C(8,4), ou seja, escolher 4 módulos e não 3; D) 24 é 4 x 3 x 2, uma contagem que não corresponde a nenhuma escolha de 3 entre 8; E) 336 é o número de sequências ordenadas, ignorando que a ordem não importa.
💡 Dica: Use a combinação para calcular as opções de escolha.
Alternativa por alternativa
Confunde o total de módulos com o número de combinações, supondo que cada módulo gera uma única versão de teste.
Calcula C(8,4) em vez de C(8,3), trocando o número de módulos a escolher por 4 ou errando o cálculo do coeficiente binomial.
Como a ordem dos módulos não importa, deve-se usar uma combinação simples: C(8,3) = 8!/(3!·5!) = (8·7·6)/(3·2·1) = 56. Portanto, podem ser formadas 56 combinações diferentes.
Faz apenas 4 x 3 x 2 (ou outra multiplicação com fatores errados) sem usar corretamente os 8 módulos disponíveis, aplicando uma contagem sem base na questão.
Por que engana: O aluno pode confundir a fórmula de combinações com a de permutações, contando a ordem dos livros.
Conta arranjos, ou seja, sequências ordenadas (8 x 7 x 6 = 336), ignorando que o enunciado afirma que a ordem dos módulos não altera a versão.
Raio-X da questão
combinações de livros
avaliacao
combinações · contagem de elementos
Revisar o conceito de combinações em matemática.
O aluno pode confundir a fórmula de combinações com a de permutações, contando a ordem dos livros.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
cotidiano
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