Dado um polígono regular com 8 lados, calcule a medida da diagonal, sabendo que a medida de cada lado é 1…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Dado um polígono regular com 8 lados, calcule a medida da diagonal, sabendo que a medida de cada lado é 1 unidade. O resultado é um número racional ou irracional?
- A) É um número inteiro.
- B) É um número racional.
- C) É um número irracional.
- D) É igual a 1,41.
- E) Não é um número real.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Um octógono regular de lado 1 tem diagonais de comprimentos diferentes, conforme o número de vértices que ela pula. Inscrevendo o octógono em um círculo de raio R, o lado vale 2R sen(pi/8), logo R = 1/(2 sen(22,5 graus)). A diagonal que pula um vértice vale 2R sen(pi/4), que é igual a raiz de (2 + raiz de 2), aproximadamente 1,848. Passo 2: A diagonal que pula dois vértices vale 2R sen(3pi/8) = 1 + raiz de 2, aproximadamente 2,414. Passo 3: A diagonal maior, que passa pelo centro, vale 2R = 1/sen(22,5 graus) = raiz de (4 + 2 raiz de 2), aproximadamente 2,613. Passo 4: Todas são irracionais. Em 1 + raiz de 2, a parte raiz de 2 é irracional, e a soma de um racional com um irracional é irracional. Para raiz de (2 + raiz de 2), se fosse racional, o quadrado 2 + raiz de 2 seria racional, o que é falso. Para raiz de (4 + 2 raiz de 2), o mesmo argumento vale, pois 4 + 2 raiz de 2 seria racional, o que é falso. Passo 5: A alternativa A está errada, pois nenhuma diagonal é inteira. A alternativa B está errada, pois as diagonais não são frações exatas, e sim irracionais. A alternativa D está errada, pois 1,41 é apenas uma aproximação de raiz de 2, e nenhuma diagonal mede isso. A alternativa E está errada, pois todas as medidas são números reais positivos. Passo 6: Logo, o gabarito C está correto. Observação: a questão não especifica qual diagonal, mas a conclusão vale para todas.
💡 Dica: Calcule a diagonal usando a fórmula para polígonos regulares.
Alternativa por alternativa
Supõe que, como o lado mede 1 unidade, a diagonal também deve ser um número inteiro. Não percebe que a diagonal depende da geometria do octógono, e não apenas do lado.
Confunde medida exata e simples com número racional. Acredita que, por o lado valer 1, a diagonal é uma fração, sem verificar se ela pode ser escrita como p/q.
Por que engana: Confundir a medida da diagonal com a medida do lado do polígono, afirmando que é um número inteiro.
A medida pode resultar em um número irracional.
Trata a aproximação decimal de raiz de 2 (1,41) como o valor exato da diagonal, ou aplica Pitágoras de forma indevida, ignorando a geometria do octógono.
Acredita que, por a diagonal envolver raízes de polígonos ou cálculos trigonométricos, o valor não pertence aos reais. Confunde números irracionais com números não reais.
Raio-X da questão
diagonais de polígonos
avaliacao
propriedades de polígonos · cálculo de distâncias
Revisar a fórmula para calcular diagonais de polígonos regulares.
Confundir a medida da diagonal com a medida do lado do polígono, afirmando que é um número inteiro.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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