Durante uma oficina de arte em uma escola, estudantes planejam produzir um painel quadrado para uma exposição…

Questão

Durante uma oficina de arte em uma escola, estudantes planejam produzir um painel quadrado para uma exposição sobre formas geométricas. O lado do painel deve medir v5 metros. Para verificar se o painel caberá em um suporte diagonal, eles precisam calcular o comprimento de sua diagonal. Considere que a diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos congruentes e que v2 é um número irracional. Com base nas informações do texto, qual é o comprimento da diagonal do painel e como esse número deve ser classificado quanto à racionalidade?

1. A) 5 m, racional.
2. B) 10 m, racional.
3. C) √5 m, irracional.
4. D) √20 m, irracional.
5. E) √10 m, irracional.

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. O painel é quadrado com lado de medida √5 m. A diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos congruentes, cujos catetos são os dois lados do quadrado, ambos com √5 m.
2. Pelo teorema de Pitágoras, o quadrado da diagonal (d) é a soma dos quadrados dos catetos: d^2 = (√5)^2 + (√5)^2 = 5 + 5 = 10.
3. Como d é uma medida positiva, d = raiz de 10, ou seja, d = √10 m (aproximadamente 3,16 m).
4. Classificação: um número é racional quando pode ser escrito como fração de inteiros. Se √10 fosse racional, seu quadrado seria o quadrado de uma fração, e como 10 não é quadrado perfeito, não existe inteiro cujo quadrado seja 10. Logo √10 é irracional. Também é possível usar a ideia do enunciado: √10 = √2 · √5, produto de dois irracionais que não resulta em número inteiro quadrado.
5. Por que as outras alternativas estão erradas: A) a diagonal não tem a mesma medida do lado; além disso, 5 é racional, o que não corresponde ao cálculo. B) 10 é o valor do quadrado da diagonal, não da diagonal, e 10 é racional mas a diagonal é raiz de 10. C) √5 é a medida do lado do painel, não da diagonal, que é maior que o lado. D) √20 corresponde à soma dos dois catetos (√5 + √5 = 2√5), esquecendo que a diagonal é a hipotenusa e não a soma dos catetos.
6. Conclusão: a diagonal mede √10 m e é um número irracional, portanto a alternativa correta é a E, que coincide com o gabarito oficial.

💡 Dica: Utilize o teorema de Pitágoras para encontrar a diagonal.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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